Erwartungswert bei Treppenwahrscheinlichkeiten

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert bei Treppenwahrscheinlichkeiten
m gleiche Spielwürfel im Becher werden geworfen. Diejenigen mit binomial P(T)=const. p=1-q werden beiseite gelegt.
Mit den Restlichen geht es wieder von Neuem los bis der Becher leer ist.
Die erwartete Wurfanzahl beträgt

.

N=Wurfanzahl bis Becher leer ist.
q=Wahrscheinlichkeit für irgendeinen Würfel im Becher zu bleiben
m= Anzahl der Würfel beim Start
---------------------------------------------------
Bei m=5 sei nun die Wahrscheinlichkeit für Treffer gestaffelt mit
  1. gesucht ist wiederum
  2. geht das evtl. auch allgemein mit m Zufallsgeräten* und
  3. oder zumindest mit konkreten


(*) z.B. Zufallsgeräte={ Münze, Würfel, Reisnagel, dreibeiniger Hühnerknochen..} Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Diejenigen mit binomial P(T)=const. p=1-q werden beiseite gelegt.

Ich weiß nicht, wie es anderen geht, aber mich hast du mit diesem Satz schon mal inhaltlich abgehängt: Keinen Schimmer, was das bedeuten soll. unglücklich
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nur 2 Ereignisse möglich mit p sowie 1-p
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dem weiteren Thread nach zu urteilen, ist mit diesem Satz womöglich folgendes gemeint:

Zitat:
Jeder der Würfel wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit und unabhängig voneinander weggelegt.

D.h., bei ungezinkten Würfeln werden etwa jeweils die gewürfelten "Sechsen" beiseite gelegt, in dem Fall wäre .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

genau.
Und bei a. hat

ein Würfel eine gelbe Seite
ein Würfel 2 gelbe Seiten
ein Würfel 3 gelbe Seiten
ein Würfel 4 gelbe Seiten
ein Würfel 5 gelbe Seiten

rausgelegt werden in jeder Runde jeweils die Würfel die "Gelb zeigen".
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »



Für mit (i=1..5) ergibt das .
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert bei Treppenwahrscheinlichkeiten
Zitat:
Original von Dopap
m gleiche Spielwürfel im Becher werden geworfen. Diejenigen mit binomial P(T)=const. p=1-q werden beiseite gelegt.

Hallo Dopap, so sehr ich Deine Rätsel mag, so muß ich dich jetzt kritisieren. Man soll beim Aufgaben-stellen, nicht die Lösung, an die man denkt, mit der Aufgabe verheiraten. Zuerst sollte man die Aufgabe stellen. Und wenn diese klar ist, dann darf man über die Lösung reden.

Zitat:
Original von Dopap
genau.
Und bei a. hat

ein Würfel eine gelbe Seite
ein Würfel 2 gelbe Seiten
ein Würfel 3 gelbe Seiten
ein Würfel 4 gelbe Seiten
ein Würfel 5 gelbe Seiten

rausgelegt werden in jeder Runde jeweils die Würfel die "Gelb zeigen".


Kann das sein, daß Du Deine Aufgabe geändert hast? Zuerst werden m gleiche Würfel in den Becher geworfen und dann sind es auf einmal 5 ungleiche Würfel. Da stimmt was nicht.

Was ist mit den Würfeln los? Hängt das Verbleiben eines Würfels im Becher nur von dessen Ergebnis ab, oder hängt das auch mit den Augenzahlen der anderen Würfel zusammen? Bitte formuliere Deine Aufgabe neu!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenstellung
Zitat:
Original von Dopap
m gleiche Spielwürfel im Becher werden geworfen. Diejenigen mit binomial P(T)=const. p=1-q werden beiseite gelegt.
Mit den Restlichen geht es wieder von Neuem los bis der Becher leer ist.
Die erwartete [...]
---------------------------------------------------
Bei m=5 sei nun die Wahrscheinlichkeit für Treffer gestaffelt mit
  1. gesucht ist wiederum
  2. geht das evtl. auch allgemein mit m Zufallsgeräten* und
  3. oder zumindest mit konkreten


Das erste Problem ist schon gelöst, siehe Formel. binomial war schlecht, ich meinte Würfel mit Bernoulli-Ereignissen.
dann in Trennstrich
Dann der Aufgabenpunkt a.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
.


das Symbol sagt mir jetzt nichts, aber

sind wohl alle nichtleeren Teilmengen der Indexmenge.

ergo Mengen. Oder?

DOCH; könnte P otenzmenge bedeute.n
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Potenzmenge.

Ich hätte ja erläutert, aber wer kryptische Formulierungen wie "Diejenigen mit binomial P(T)=const. p=1-q werden beiseite gelegt." in Ordnung findet, soll dann schon noch selbst ein wenig zu rätseln haben. smile


Die Herleitung verläuft eigentlich völlig analog wie bei den identisch verteilten Würfeln, nur dass in der Konsequenz die Summe komplizierter wird:

Es ist genau dann, wenn alle Spielwürfel nach maximal Würfen weggelegt werden. Da Würfel mit Wahrscheinlichkeit dazu mehr als Würfe benötigt, ist



und somit



Der Rest ist ausmultiplizieren und jeweils geometrische Reihenbildung:

.


Zitat:
Original von Dopap
Das erste Problem ist schon gelöst

Hmm, a) und b) sind gelöst, und mit b) dann sowieso auch c).

Was kommt noch: Die Varianz von ? Kriegt man mit ein wenig Summen-Jonglieren wohl auch noch geschlossen hin, obschon dann schon etwas länglich.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert bei Treppenwahrscheinlichkeiten
Zitat:
Original von Dopap

Das erste Problem ist schon gelöst, siehe Formel. binomial war schlecht, ich meinte Würfel mit Bernoulli-Ereignissen.
dann in Trennstrich
Dann der Aufgabenpunkt a.



zum allerersten Problem habe ich zum Einstieg die Formel gleich mitgeliefert.
Das unverständliche binomial ist textlich verbessert
Dann Trennstrich vor Aufgabe a.
Dazu dann deine Formel.
Und jetzt noch die Erklärung dazu Freude

FAZIT: stelle vor einer Frage in 3 Teilen a,b, c nicht die Lösung eines einfacheren Problems voran. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und dann gibt es noch die Probleme, nach denen gar nicht gefragt wurde: Die Varianz. Augenzwinkern

Zunächst mal ist

,

was zusammen mit zu

,

was mit zu



führt. Für deine fünf gelben Würfel ergibt das

.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Einmalig, nur am matheboard bekommt man Antworten auf (noch) nicht gestellte Fragen Freude

Augenzwinkern . Und das mit Bestimmtheit noch teilerfremd!

Einer geht noch:

angenommen die der Bernouilli-Zufallsgeräte unterliegen keiner Regelmäßigkeit.

  • dann muss man die Indexteilmengen berechnen und die zugehörigen einzeln per Index aus der Liste der holen.

  • wie kann man diese Indexmengen programmtechnisch ermittelt ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gewissermaßen die Frage nach dem Quelltext, den ich da verwendet habe. Hier ist er (MuPAD):

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
EVN := proc(m,q)
  local SI,i,j,Pq,v,s1,s2;
  begin
    s1:=0 :
    s2:=0 :
    for SI from 1 to 2^m-1 do
      v:=-1 :
      j:=SI :
      Pq:=1 :
      for i from 1 to m do
        if (j mod 2) > 0 then
          Pq:=Pq*q[i] :
          v:=-v :
        end_if :
        j:=j div 2 :
      end_for :
      s1:=s1+v/(1-Pq) :
      s2:=s2+v/(1-Pq)^2 :
    end_for :
    s2:=2*s2-s1*(s1+1) :
    s1,s2 :
  end_proc

res := EVN(5,[$1..5]/6)
Die Bits von Index SI repräsentieren die Menge . Leider hat MuPAD keine Bitmanipulationsfunktionen (zumindest kenne ich sie nicht), daher musste ich mich mit "modulo 2" behelfen, um die Bits passend zu extrahieren.
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