Täglicher Fußweg

05.02.2020, 16:46

Dopap

Täglicher Fußweg

In einem Quadrat ist die gesamte Fläche begehbar.
Eckenbewohner Karl besucht täglich seinen Bruder in der entferntesten Quadratecke.
Leider ist die zu überquerende Diagonale in 50% der Fälle nicht passierbar, was aber erst an Ort und Stelle ersichtlich wird, und muss dann über eine weitere Ecke umgangen werden..

Mit welcher Wegwahl kann Karl auf lange Sicht die mittlere tägliche Wegstrecke minimieren?

05.02.2020, 21:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Täglicher Fußweg
Hallo Dopap,

ich will mich mal an dein Rätsel heranwagen und habe mir dazu eine Zeichnung gemacht. Augenzwinkern

[attach]50584[/attach]
Ich gehe hier mal davon aus, daß Karl geschockt

Punkt C bewohnt und täglich seinen Freund Wink

im Punkte A besuchen möchte. Dazu würde er die blaue Linie entlanglaufen, wenn er nicht in 50 % der Fälle auf den Polygonzug (orange) treffen würde, der in diesem Fall unüberwindlich wäre. Jedoch kann er den Polygonzug umgehen, und so die ganze Fläche erreichen. Der optimale Weg wäre hier, von C in gerader Linie entweder nach E oder nach N zu laufen und von dort direkt zu A. Bislang bin ich nur von einer Hindernislinie ausgegangen. Es könnte aber auch ein System aus Hindernislinien sein.

Was mir jetzt unklar ist, Dopap:

Bleibt oder bleiben die Hindernislinien immer an der selben Stelle, oder sind sie jeden Tag woanders? Wenn Karl seinen Weg optimiert hat, kann man dann davon ausgehen, daß er das System aus Hindernislinien kennt? Oder ist es vielleicht so, daß die Hindernisse in 50% aller Fälle überwunden werden können, auch wenn sie da sind? Ich finde, Du solltest mehr über das Hindernis sagen, sonst brauchen wir hier nicht länger zu diskutieren.
Idee!

05.02.2020, 21:54

HAL 9000

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Ich ergänze das Problem mal noch durch eine Zusatzfrage:

Die Diagonale sei mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht passierbar. Ab welchem Mindestwert von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist die "langweilige Strategie", den langen Weg über die Nachbarecke zu wählen, erwartungswertoptimal?

06.02.2020, 00:12

Dopap

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Schon erstaunlich was man sich so alles ausdenken kann. Augenzwinkern

Aber bleiben wir vorerst beim Originalproblem:

DIE DIAGONALE ( bei dir im Bild $\begin{eqnarray*} \overline {B D} \end{eqnarray*}$ ) ist fix sonst wäre sie keine Diagonale.
Manchmal ist DIE DIAGONALE an jeder Stelle unpassierbar, manchmal aber überall.
Wie gesagt, Karl kann das erst vor Ort feststellen.

Für Realisten ein Beispiel: DIE DIAGONALE ist sehr flacher Graben, zeitlich zu 50% trocken und zeitlich zu 50% nass.
Karl trägt aber sehr teure Schuhe von Lobbs London ... Augenzwinkern

Die Wegwahl ist eine reine Strategie.

Karl steuert immer denselben Punkt der DIAGONALEN an und je nach Situation vor Ort
gibt es 2 verschiedene Folgewege zum Bruder.
Ein sinniger Besuchsweg ist ein Streckenzug aus maximal 3 Teilen.

06.02.2020, 01:24

Ulrich Ruhnau

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RE: Täglicher Fußweg

Zitat:

Original von Dopap
Leider ist die zu überquerende Diagonale in 50% der Fälle nicht passierbar, was aber erst an Ort und Stelle ersichtlich wird, und muss dann über eine weitere Ecke umgangen werden..
[/list]

Hallo Dopap,

ich habe den Ausdruck "überqueren" mißverstanden, weil ich an einen Seiltänzer dachte, der ein Seil überquert. Folglich habe ich die Diagonale falsch eingezeichnet. Das jetzige Bild entspricht hoffentlich dem, was Du gedacht hast.
[attach]50589[/attach]
Karl läuft von C nach E und kann, wenn er Glück hat, direkt nach A laufen oder er geht erst zu B und dann nach A. Also ist die Summe der beiden Stecken $\begin{eqnarray*} \overline{AE} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{EB} \end{eqnarray*}$ zu optimieren. Die Summe hat ein Minimum, wenn der Punkt E bis zum Punkt B verschoben wird. Ja die kürzeste Verbindung von A nach B ist die gelbe Linie. Das bedeutet, daß Karl einen optimalen Weg läuft, wenn er von C geradlinig über B oder D nach A läuft.

06.02.2020, 08:12

Huggy

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RE: Täglicher Fußweg

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Also ist die Summe der beiden Stecken $\begin{eqnarray*} \overline{AE} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{EB} \end{eqnarray*}$ zu optimieren.

Nein.
Der Erwartungswert des Wegs von A nach C ist zu optimieren. Es sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Abstand von E zur Mitte der Diagonale. Es sei $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ der Weg AEC und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ der Weg AEBC.

$\begin{eqnarray*} S_1=2 \sqrt {x^2+ \frac 1 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_2=\sqrt {x^2+ \frac 1 2}+( \frac {\sqrt 2} 2 -x) +1 \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswerts des Wegs von A nach C ist

$\begin{eqnarray*} E(S(x))= \frac 1 2(S_1 +S_2) \end{eqnarray*}$

Das Minimum ergibt sich bei $\begin{eqnarray*} x= \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} E(S(\frac 1 4))=\frac 1 2 (3+\frac {\sqrt 2} 2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Diagonale sei mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht passierbar. Ab welchem Mindestwert von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist die "langweilige Strategie", den langen Weg über die Nachbarecke zu wählen, erwartungswertoptimal?

Da komme ich auf

$\begin{eqnarray*} p=2(\sqrt 2-1 \end{eqnarray*}$ )

06.02.2020, 09:47

Ulrich Ruhnau

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RE: Täglicher Fußweg

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Karl läuft von C nach E und kann, wenn er Glück hat, direkt nach A laufen oder er geht erst zu B und dann nach A. Also ist die Summe der beiden Stecken $\begin{eqnarray*} \overline{AE} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{EB} \end{eqnarray*}$ zu optimieren.

Nein hier habe ich mich im zweiten Satz geirrt. Es war gestern schon spät. Es wäre $\begin{eqnarray*} 3\overline{AE}+\overline{EB} \end{eqnarray*}$ zu optimieren gewesen.
Huggys Formel ist natürlich richtig.
[attach]50591[/attach]

06.02.2020, 11:52

Dopap

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alles richtig Freude

Es geht auch umständlicher :

Sei $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ der Winkel CAE also zwischen direktem Weg und gewählter Richtung dann ist

$\begin{eqnarray*} S(\theta)=\frac {1.50}{\cos(\theta)}+0.5(1-\tan(\theta)+\sqrt2) \end{eqnarray*}$ wenn die Längeneineinheit die halbe Diagonale ist.

Minimum bei $\begin{eqnarray*} \theta=\arcsin(\tfrac 13) \end{eqnarray*}$

Zur Zusatzaufgabe von HAL:

welche Bedingung gilt rechentechnisch falls $\begin{eqnarray*} min (p\,|\,E(S)=2) \end{eqnarray*}$ angesetzt wird?

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