Beweise, dass 24|(5^2n -1)

05.02.2020, 20:15

blaubeere

Beweise, dass 24|(5^2n -1)

Meine Frage:
Hallo,
ich soll beweisen, für alle natürlichen Zahlen gilt
24|(5^2n -1)
Ich wusste nicht zu welchem Mathezweig das gehört. Ich verknote mir schon den ganzen Nachmittag das Hirn, um einen Ansatz für eine vollständige Induktion zu finden. Wird es vielleicht mit einem anderen Verfahren bewiesen ?
Danke im voraus für Hilfe
Gruß Sabine

Meine Ideen:
24m=5^2n -1
mit dem Rest meiner Annäherungen verschone ich euch

05.02.2020, 20:25

seinfeld

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Wie lautet denn die Aussage für n+1 ?
Fangen wir erstmal damit an.

05.02.2020, 20:26

URL

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RE: Beweise, dass 24|(5^2n -1)
$\begin{eqnarray*} 5^{2n}-1=25^n-1^n \end{eqnarray*}$ und jetzt muss man sich an eine bekannte Verwandte der dritten binomischen Formel erinnern
Edit: und wieder weg Wink

05.02.2020, 20:43

blaubeere

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24 teilt auch 5^2(n+1) -1 = 5^2n +2 -1

das mit der binomischen Formel hört sich gut, muss ich aber in Ruhe durchdenken, wo da der Beweis liegt

05.02.2020, 20:50

seinfeld

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Probiere es doch mal mit dem Formeleditor, das sieht schöner (lesbarer) aus. smile

Also die Aussage für n+1 lautet:

$\begin{eqnarray*} 24 ~ |~ 5^{2n+2}-1 \end{eqnarray*}$

Nun teile die Potenz in zwei Faktoren auf (Potenzgesetz).

05.02.2020, 21:14

blaubeere

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[latex]24|5x^{2} 5x^{2n} -1[\latex]

da Punktrechnung vor Strichrechnung geht, sehe ich den Beweis immer noch nicht

05.02.2020, 21:15

blaubeere

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irgendwas verkehrt gelaufen, das ist leider nicht lesbarer

05.02.2020, 21:25

seinfeld

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Du hättest den Schrägstrich beim hinteren Latex-Tag nur andersrum machen müssen.
Oder besser: Direkt auf den blauen "f(x)-Button" drücken.

$\begin{eqnarray*} 5^{2n+2}-1=5^{2} \cdot 5^{2n}-1=25 \cdot 5^{2n}-1 \end{eqnarray*}$

Nun wäre es doch schön, wenn die Induktionsvoraussetzung (also die Aussage für n) hier noch irgendwie vorkommen würde (denn genau das braucht man ja für den Induktionsschritt).

Das kriegt man aber mit einem kleinen Kniff auch hin:

$\begin{eqnarray*} 25 \cdot 5^{2n}-1=25 \cdot 5^{2n}-25+25-1 \end{eqnarray*}$

Siehst du nun worauf das hinausläuft ?

05.02.2020, 21:52

blaubeere

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vielleicht habe ich mir heute schon das Hirn verknotet, ich sehe leider nicht, worauf das hinaus läuft

05.02.2020, 21:54

seinfeld

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Klammere doch mal von den ersten beiden Summanden den Faktor 25 aus und fasse die letzten beiden Summanden zusammen.
Was erhältst du ?

05.02.2020, 22:06

blaubeere

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wow. sehr tricki

$\begin{eqnarray*} 25(5^2n -1) + 25 - 1 \end{eqnarray*}$

in worten 25 x Voraussetzung + 24

danke, ich habe es begriffen, nur den Formeleditor noch nicht
das war der Versuch mit f(x)

05.02.2020, 22:16

seinfeld

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Zitat:

25(5^2n -1) + 25 - 1

Du hättest um den Exponenten nur noch geschweifte Klammern machen müssen - also {2n} - dann wäre es perfekt. Freude

Diese Induktionsaufgaben zur Teilbarkeit laufen eigentlich meist nach diesem Muster, das kriegst du nach ein paar Aufgaben bestimmt immer routinierter hin. Wink

Mit dem User URL kannst du ja auch noch den anderen Lösungsweg durchgehen, wenn du magst.

Ich persönlich hatte auch noch an Modulo-Rechnung gedacht.
Ich weiß aber nicht, ob man das so einfach machen darf (da kann gerne ein Kenner etwas zu sagen) :

$\begin{eqnarray*} 5^{2n}-1=25^n-1 \equiv 1^n-1=0 ~ mod ~ 24 \end{eqnarray*}$

06.02.2020, 12:42

faktor

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Mit dem binomischen Lehrsatz kann man auch arbeiten:

$\begin{eqnarray*} 5^{2n}=25^n=(1+24)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 24^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25^n-1=\sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 24^k \iff 25^n-1=24 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 24^{k-1} \end{eqnarray*}$

Ganz elementar mit den Teilbarkeitsregeln der 5./6. Klasse gibt es auch folgenden Zugang:

$\begin{eqnarray*} 25^n-1=(5^n-1)(5^n+1) \end{eqnarray*}$

Beiden Faktoren sind gerade Zahlen, da $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ offensichtlich nicht den Faktor 2 beinhaltet (der Vorgänger oder Nachfolger einer ungeraden Zahl ist eine gerade Zahl).
Es sind sogar direkt aufeinander folgende gerade Zahlen, da ihr Abstand 2 beträgt.
Daraus folgt, dass ein Faktor durch 4 teilbar sein muss und ebenso der andere durch 2 und somit sogar der Faktor 8 erzeugt wird.
Ferner sind $\begin{eqnarray*} 5^n-1,~5^n ~ \text{und} ~ 5^n+1 \end{eqnarray*}$ drei aufeinander folgende, natürliche Zahlen, von denen logischerweise eine durch 3 teilbar sein muss.
$\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ kann es natürlich nicht sein, da der Faktor 3 in einer 5er-Potenz nicht vorkommt.
Aus der Teilbarkeit durch 8 und 3 folgt die Teilbarkeit durch 24.

All diese verbalen Folgerungen kann man selbstverständlich auch noch mathematisch ausführlicher beweisen.
Hier erachte ich das allerdings nicht für notwendig, da sich die Argumentationen direkt aus Definitionen ergeben und somit banal sind.

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