Quadratische Lösungsformel quadriert und eingebettet

06.02.2020, 12:41

LAMHOU

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Quadratische Lösungsformel quadriert und eingebettet

Meine Frage:
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } h}{m v} = \frac{h c}{\sqrt{ \frac{h c^{5} }{4 G_{E} } } } \end{eqnarray*}$

Desweiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} v = \frac{- \frac{4 G_{E} m^{2} }{h} \sqrt{\frac{16 G_{E}^{2} m^{4} }{h^{2} } + 4 c^{2} } }{2} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Planckische Konstante, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Lichtgeschwindigkeit und $\begin{eqnarray*} G_{E} \end{eqnarray*}$ ist eine neue theoriespezifische Konstante. Ihr Wert ist:

$\begin{eqnarray*} 8.246441821 \times 10^{25} N m^{2} kg^{-2} \end{eqnarray*}$

In der Praxis weiss ich dass die erste Gleichung nur dann erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ der Masse des Elektrons entspricht und wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ensprechend der zweiten Gleichung, oder besser Formel, gewählt wird.

Also empirisch wissen wir dass $\begin{eqnarray*} m = 9.10938356 \times 10^{-31} \end{eqnarray*}$ , und dass $\begin{eqnarray*} v = 299,792,457.793 m/s \end{eqnarray*}$ . Ziel ist es jedoch den Wert von "m" unabhängig herzuleiten. Auch "v" soll nicht vorrausgesetzt werden.

Meine Ideen:
Mein Ansatz war es alles in der ersten Gleichung zu quadrieren, einschließlich "v", und dann die Gleichung für "v" einzusetzen.
Allerdings komme ich damit nie auf das richtige Ergebnis. Manchmal kommt Null raus, wieder andere Male eine Zahl, aber nicht die richtige.

06.02.2020, 13:18

Elvis

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Möchtest du vorrechnen, was du machst ? Dann können wir Fehler suchen, das gehört zu unseren Lieblingsbeschäftigungen.

06.02.2020, 14:50

LAMHOU

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Ok, also, erst quadriere ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} }}{m^{2} v^{2}} = \frac{Lambda^{2}}{h^{2} } \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Rechts sind nur Konstanten, also habe ich durch » ersetzt. Schließlich ist es ja auch eine Wellenlänge.
Dann weiter so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m^{2} v^{2}} - \frac{1}{m^{2} c^{2}} = \frac{Lambda^{2}}{h^{2} } \end{eqnarray*}$

Dann das ganze hoch minus 1:

$\begin{eqnarray*} m^{2} v^{2} - m^{2} c^{2} = \frac{h^{2}}{ Lambda^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die Formel für v einsetzen, und zwar in quadrierter Form:

$\begin{eqnarray*} v^{2} = - \frac{16 G_{E}^{2} m^{4}}{h^{2} } + 2 \left(- \frac{4 G_{E} m^{2}}{h }\right) \sqrt{\frac{16 G_{E}^{2} m^{4} }{h^{2}} + 4 c^{2} } + \left(\frac{16 G_{E}^{2} m^{4} }{h^{2}} + 4 c^{2}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich irgendwie diese Wurzel loswerden.

06.02.2020, 15:16

Helferlein

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Hier ist der Fehler:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac 1a - \frac 1b \right)^{-1} = \frac{ab}{b-a} \neq a-b \end{eqnarray*}$

Wobei ich von $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ ausgegangen bin. Ansonsten gibt es schon bei der Kehrwertbildung Probleme.

06.02.2020, 15:53

LAMHOU

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Achso, also sollte es korrekt so heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{m^{4}v^{2}c^{2}}{m^{2}c^{2} - m^{2}v^{2}} \end{eqnarray*}$

Und das ließe sich so vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{m^{2}v^{2}c^{2}}{c^{2} - v^{2}} \end{eqnarray*}$

Und wie geht es jetzt weiter?

06.02.2020, 16:27

LAMHOU

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Zitat:

Dann weiter so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m^{2} v^{2}} - \frac{1}{m^{2} c^{2}} = \frac{Lambda^{2}}{h^{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist schon ganz falsch ... wird ja gleich negativ ... (v < c)

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06.02.2020, 16:58

URL

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und damit 1/v > 1/c und da wird nichts negativ

06.02.2020, 17:14

LAMHOU

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Achja, stimmt, ist ja der Kehrwert ... brauch wohl 'ne kurze Pause.

06.02.2020, 17:24

Nils Hoppenstedt

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RE: Quadratische Lösungsformel quadriert und eingebettet

Zitat:

Original von LAMHOU

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } h}{m v} = \frac{h c}{\sqrt{ \frac{h c^{5} }{4 G_{E} } } } \end{eqnarray*}$

Kannst du was über die Hintergründe dieser Formel sagen?

Gruß
Nils

06.02.2020, 17:52

LAMHOU

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RE: Quadratische Lösungsformel quadriert und eingebettet
Also, ich habe eine Gleichheit verschwiegen. In Wirklichkeit sind es drei Dinge die gleich sind. Es geht hier nämlich darum wann die Wellenlänge eines Teilchens gleich lang ist wie der Durchmesser des Elementarraums dieses Teilchens (geht hier um die Raum-Teilchen-Dualismus-Theorie), und bei welcher Teilchenmasse diese Wellenlänge gleich ist mit der Wellenlänge bei der das gleiche mit einem Photon passiert.

Wir haben hier also drei Gleichheiten, Teilchenwellenlänge = Elementarraumdurchmesser = Kritische Wellenlänge eines Photons. Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2}} } h}{m v} = \frac{h c}{\sqrt{\frac{h c^{5} }{4 G_{E} } } } = \frac{4 G_{E} m}{c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2}}} } \end{eqnarray*}$

Also wir haben ja schon die eingangs erwähnte Formel für v, und zwar:

$\begin{eqnarray*} v = \frac{-\frac{4 G_{E}m^{2} }{h} + \sqrt{\frac{16 G_{E}^{2} m^{4} }{h^{2} } + 4 c^{2} }}{2} \end{eqnarray*}$

Und wir wissen auch von weiter oben, dass:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2}} } Lambda}{4 G_{E} } \end{eqnarray*}$

06.02.2020, 18:26

LAMHOU

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Achja, und um da weiterzumachen wo ich aufgehört hab:

$\begin{eqnarray*} \frac{m^{2}v^{2}c^{2} }{c^{2} - v^{2}} = \frac{h^{2}}{\lambda^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = \sqrt{\frac{h^{2}\left(c^{2} - v^{2}\right)}{\lambda^{2}v^{2}c^{2}}} \end{eqnarray*}$

06.02.2020, 18:55

Finn_

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Würde vorschlagen, wir führen an dieser Stelle zum Herumrechnen die Abkürzung
$\begin{eqnarray*} A := \frac{4G_E}{h} \end{eqnarray*}$
ein. Dann ist
$\begin{eqnarray*} v = \frac{-Am^2+\sqrt{(Am^2)^2+4c^2}}{2}, \end{eqnarray*}$
also Lösung der quadratischen Gleichung
$\begin{eqnarray*} v^2 + Am^2 v-c^2 = 0, \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} Am^2 v = c^2-v^2. \end{eqnarray*}$

Die erste vorgelegte Gleichung kann man umformen zu
$\begin{eqnarray*} Am^2 v^2 = \gamma^2 c^3 = \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)c^3 = (c^2-v^2)c \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \gamma = \sqrt{1-(v/c)^2} \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen der quadratischen Gleichung bringt nun
$\begin{eqnarray*} Am^2 v^2 = Am^2 vc, \end{eqnarray*}$
daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$ . Dann muss $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Es könnte aber noch weitere nichtnegative Lösungen geben. Vorliegen haben wir ein quadratisches Gleichungssystem in den Variablen $\begin{eqnarray*} v,m \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}v^2+Am^2v=c^2\\ Am^2 v^2+v^2 c = c^3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

06.02.2020, 19:35

Finn_

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Man normiere auf $\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x:=m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y:=v \end{eqnarray*}$ , dann nimmt das Gleichungssystem die Form
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x^2 y+y^2=1\\ x^2 y^2+y^2=1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
an. Das ist die Schnittmenge von diesen Graphen (die erste Gleichung blau, die zweite grün):

[attach]50592[/attach]

Das sieht wohl so aus, also würde die obere blaue Kurve immer unterhalb der grünen liegen. Der einzige Schnittpunkt ist dann $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ , in Einheiten von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gemessen, also $\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$ .

Die vorgelegten Gleichungen widersprechen sich, sofern mir kein Fehler unterlaufen ist.

06.02.2020, 20:02

Nils Hoppenstedt

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RE: Quadratische Lösungsformel quadriert und eingebettet

Zitat:

Original von LAMHOU
In Wirklichkeit sind es drei Dinge die gleich sind. Es geht hier nämlich darum wann die Wellenlänge eines Teilchens gleich lang ist wie der Durchmesser des Elementarraums dieses Teilchens (geht hier um die Raum-Teilchen-Dualismus-Theorie), und bei welcher Teilchenmasse diese Wellenlänge gleich ist mit der Wellenlänge bei der das gleiche mit einem Photon passiert.

Das klingt ehrlich gesagt alles etwas esoterisch. Könnte es sein, dass das sowas wie eine Privat-Theorie ist?

Nils

06.02.2020, 20:22

LAMHOU

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So, da wir jetzt schon zwei verschiedene Gleichungen für m haben, können wir diese ja gleichsetzen und quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } \lambda}{4 G_{E} } = \sqrt{\frac{h^{2}\left(c^{2} - v^{2}\right)}{\lambda^{2}v^{2}c^{2}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt alle Konstant zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^{4} c^{6}}{h^{2}16 G_{E}^{2} } \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = \frac{c^{2} - v^{2}}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

Konstanten durch A ersetzen:

$\begin{eqnarray*} A \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = \frac{c^{2} - v^{2}}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = \frac{c^{2}}{v^{2}} - <br /> 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{\frac{c^{2}}{v^{2}} - <br /> 1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{c^{2}}{v^{2}} - \frac{c^{2}}{v^{2}} - 1 + \frac{c^{2}}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2 \frac{c^{2}}{v^{2}} - \frac{c^{4}}{v^{4}} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} - \frac{v^{4}}{c^{4}} - 1 \end{eqnarray*}$

06.02.2020, 20:32

LAMHOU

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Zitat:

Das sieht wohl so aus, also würde die obere blaue Kurve immer unterhalb der grünen liegen. Der einzige Schnittpunkt ist dann $\begin{eqnarray*} v=1 \end{eqnarray*}$ , in Einheiten von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gemessen, also $\begin{eqnarray*} v=c \end{eqnarray*}$ .

Die vorgelegten Gleichungen widersprechen sich, sofern mir kein Fehler unterlaufen ist.

Achso. Ok gut. Das habe ich mir schon fast gedacht.

2016 ist mir aufgefallen dass die Gleichung für die kritische Wellenlänge für Photonen fast den gleichen Wert hatte wie die für Elektronen.

Damals hatte ich wohl mit einem Taschenrechner gerechnet, weswegen die zwei Werte noch einigermaßen verschieden waren. Nur halt sehr nahe beieinander.
Da ich keinen Grund hatte anzunehmen dass die beiden Werte gleich sind, habe ich mir nicht die Mühe gemacht die Formeln gleichzusetzen.

Vor ein paar Tagen habe ich aber nochmal gerechnet und da haben die beiden Werte in 6 Stellen übereingestimmt. 9.00958 * 10^-17 Meter in beiden Fällen.
Obwohl ich immernoch keinen Grund hatte anzunehmen, dass die beiden genau übereinstimmen, habe ich aber dann doch gedacht ich sollte es versuchen, und hab die beiden Formeln gleichgesetzt.

Schon gestern habe ich mir gedacht, dass bei sinkender Masse die krische Wellenlänge sich zwar immer weiter der kritschen Wellenlänge für Photonen annähert, aber nicht ganz erreicht.

Sie haben das hiermit wohl nun bewiesen.
Vielen Dank!

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