Längenmessung

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Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
Längenmessung
Für Schüler geeignet!

Meister Eder stammt noch aus der guten alten Zeit, als man seine Stifte noch nicht als Azubis beschimpfte, sich aber auch nicht scheute, sie gelegentlich kräftig zu veräppeln. Er gibt seinem Stift Cleverle zwei Stäbe mit gleichem rechteckigen Querschnitt, aber deutlich unterschiedlicher Länge. Ich brauche die Längen der beiden Stäbe, aber möglichst genau und in spätestens 10 Minuten.

Cleverle steht eine Längenmesseinrichtung zur Verfügung, die bei wiederholter Messung einer Länge normalverteilte Messergebnisse liefert mit Standardabweichung . Der Erwartungswert der Messungen ist gleich der zu messenden Länge. Leider reichen die 10 Minuten nur für insgesamt zwei Längenmessungen.

Wie wurde Cleverle seinem Namen gerecht?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Cleverle hat die Länge beider Stäbe abgemessen und die Längen genau 10 Minuten später seinem Meister mitgeteilt. Damit wurde er seiner Aufgabe gerecht. Wichtig war hier nicht die Genauigkeit der Messung, sondern die Pünktlichkeit beim Präsentieren der Meßergebnisse.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Na, so einfach wirds wohl nicht gewesen sein, denn die Längen sollten schon "möglichst genau" geliefert werden.

Ich hoffe, mit folgendem Vorgehen komme ich wenigstens in die Nähe von Cleverles Cleverness:

Ich lege zuerst die beiden Stäbe in Reihe und messe die Summe der beiden Längen. Dann lege ich die Stäbe nebeneinander und messe die Differenz der beiden Längen.
Angenommen, die Messungen wären exakt, dann könnte ich die Gleichungen aufstellen


und daraus die beiden Längen berechnen.
Insbesondere gilt:



Wie sieht es dann mit der Genauigkeit aus?
Meine Zufallsvariablen sind
: Meßergebnis der Summe der Längen
: Meßergebnis der Differenz der Längen

Die Erwartungswerte , sind kein Problem.

Streuung:

Ebenso

Kann es wirklich sein, dass sich die Längen so genauer messen lassen als durch direkte Einzelmessung ?





Edit: Varianzberechnung korrigiert
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

warum nicht ?

[off topic] z.B. würde ich bei einer Längenmessung verschiedener Legobausteine immer Summen verwenden und ein reichlich überbestimmtes LGS erzeugen, das der Taschenrechner im Sinne kleinster Quadratsummen ohne weiteren Aufwand "löst".
Meistens liegt - wie beim Lineal - ein konstanter Ablesefehler vor, der sich bei Summen vorteilhaft aufteilt.[/off topic]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Zitat:
Original von klauss
Ich hoffe, mit folgendem Vorgehen komme ich wenigstens in die Nähe von Cleverles Cleverness:

Ich lege zuerst die beiden Stäbe in Reihe und messe die Summe der beiden Längen. Dann lege ich die Stäbe nebeneinander und messe die Differenz der beiden Längen.

Exakt so ist Cleverle vorgegangen. Freude

Es ist einerseits simpel und andererseits doch verblüffend. Auf diese Weise erreicht man mit zwei Messungen dieselbe Genauigkeit, als ob man jeden Stab separat zweimal gemessen hätte, also insgesamt vier Messungen gemacht hätte.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Zitat:
Original von Huggy
Meister Eder stammt noch aus der guten alten Zeit, als man seine Stifte noch nicht als Azubis beschimpfte, sich aber auch nicht scheute, sie gelegentlich kräftig zu veräppeln.

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von klauss
Ich hoffe, mit folgendem Vorgehen komme ich wenigstens in die Nähe von Cleverles Cleverness:

Ich lege zuerst die beiden Stäbe in Reihe und messe die Summe der beiden Längen. Dann lege ich die Stäbe nebeneinander und messe die Differenz der beiden Längen.

Exakt so ist Cleverle vorgegangen. Freude
Ich finde, dies ist keine wirkliche Lösung. Denn ein Meßgerät zur genauen Bestimmung einer Länge eignet sich nicht unbedingt für die direkte Messung einer Längendifferenz. Das ist wohl der Unterschied zwischen Theorie und Praxis.
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Ich finde, dies ist keine wirkliche Lösung. Denn ein Meßgerät zur genauen Bestimmung einer Länge eignet sich nicht unbedingt für die direkte Messung einer Längendifferenz. Das ist wohl der Unterschied zwischen Theorie und Praxis.

Ich finde, das ist kein relevanter Einwand. Dies ist ein Matheforum und kein Ingenieursforum. Es werden also mathematische Lösungen gesucht unabhängig davon, wie gut oder schlecht die mathematischen Idealisierungen eines Problems in der realen Welt erfüllbar sind.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Längenmessung
Zugegeben, der physikalische Einwand, dass auch beim bündigen Hintereinanderanlegen ein kleiner Zwischenraum bleibt, der einen zusätzlichen Messfehler beinhaltet, war mir gegenwärtig, aber darum geht es nicht hier, sondern bei den Physikern ''nebenan''.
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