Menge der endlichen Produkte von Kommutatoren bilden Untergruppe

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Marisers Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der endlichen Produkte von Kommutatoren bilden Untergruppe
Hallo zusammen,

ich übe gerade etwas für die Klausur und habe dabei folgende Übungsaufgabe gefunden:
[attach]50595[/attach]

Dazu habe ich folgende Lösung gefunden:
[attach]50596[/attach]
a) verstehe ich, das ist ja relativ simpel.

Die Lösung zu Aufgabe b) verwirrt mich etwas.
1. Untergruppe soll nicht leer sein -> Dort wird gezeigt, dass [a, b] = e ist, wenn a = b gilt und die Menge somit nicht leer ist. Müsste man aber nicht eigentlich ein Produkt aus mind. zwei Kommutatoren betrachten und nicht nur einen einzigen Kommutator?

2. Abgeschlossenheit -> Ist der Beweis in der Form zulässig? Dass ein Produkt von mehreren Kommutatoren weiterhin ein Produkt bleibt ist ja irgendwie direkt klar.

3. Inverses Element. In dem Beweis wird Bezug auf Aufgabe a) genommen, in der gezeigt wurde, dass das Inverse eines Kommutators ein Kommutator ist. Aber hier geht es ja um die endlichen Produkte von Kommutatoren und nicht um einen einzelnen Kommutator. Eigentlich müsste ich doch zeigen, dass das Produkt von Kommutatoren ein inverses Element besitzt ?

Vllt. kann mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen, warum der Beweis vllt. doch so zulässig ist, wie er geführt wurde? verwirrt verwirrt

VG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(b) ist nicht so einfach, denn du musst nicht nur zeigen, dass das Produkt von endlich vielen Kommutatoren ein Gruppenelement ist. Es ist die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G, also eine Untergruppe. Siehe "erzeugte Untergruppe" zB. bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe

Nachtrag: Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil. Dein Beweis für (b) ist nach dem Untergruppenkriterium fast völlig korrekt. Die Elemente g und g' müssen nur nicht aus gleich vielen Kommutatoren bestehen, das kann man aber durch [e,e] oBdA erreichen, oder du schreibst h statt k als letzten Index in g.

Wegen 3. musst du dir keine großen Sorgen machen, denn es gilt , und auch dafür ist (a) nützlich.

(Sorry, dass ich so lange und so viele Korrekturen gebraucht habe. Heute ist wohl nicht mein Tag.)
 
 
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, der Beweis kommt leider nicht von mir, den habe ich in den Tiefen des Internets gefunden.

Vorhandensein des neutralen Elementes und Abgeschlossenheit leuchten mir ein. Was mir leider immer noch nicht so ganz klar ist, ist der Nachweis für das Vorhandensein des inversen Elements.
Wenn die Kommutatorengruppe aus endlichen Produkten von Kommutatoren besteht, dann muss ich doch zeigen, dass für ein beliebiges Produkt ein inverses Element existiert. In dem Beweis, den ich gefunden habe, wird ja nur darauf verwiesen, dass es für einen einzigen Kommutator ein Inverses gibt. Daraus lässt sich aber nicht schließen, dass es auch für das Produkt von beliebig vielen Kommutatoren ein Inverses gibt oder doch? verwirrt

Nachtrag: Ahh, der letzte Nachtrag war hilfreich, danke dir smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, siehe meinen letzten Nachtrag oben.
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Ist diese alternative Vorgehensweise über das Untergruppenkriterium

so richtig nachgewiesen?

und


und daraus folgt:


Und dann den Verweis auf a) ziehen? Da das Inverse eines Kommutators wieder ein Kommutator ist, ist wieder ein Produkt von Kommutatoren und somit in K(G).

Ist das mathematisch so korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte etc. schreiben, dann spart man sich die unbeliebten Pünktchen, aber der Beweis ist in jedem Fall absolut richtig.
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, danke.

Zu Aufgabe d) habe ich mir jetzt notiert:


Ich gehe mal davon aus, dass das dann auch passt. Damit sollte ich in der Klausur dann hoffentlich klarkommen smile Gruß und schönes WE
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Passt auch, fehlt nur noch (c)
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es fehlt noch c) und ich stelle doch wieder fest, dass mich diese Kommutatorengruppe sehr verwirrt.

Folgenden Beweis habe ich im gleichen Dokument zu den anderen Beweisen gefunden:
[attach]50601[/attach]

Die Rechnung an sich ist ja auch wirklich leicht nachzuvollziehen. Allerdings finde ich es komisch, dass man von [a, b] = e ausgehen darf. Muss man nicht davon ausgehen, dass das endliche Produkt von Kommutatoren das neutrale Element ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kommutator ist ein endliches Produkt von Kommutatoren.
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Heute Mittag war die Klausur und genau die Aufgabe ist tatsächlich vorgekommen smile

Die 10 Punkte sollte ich dann hoffentlich schon mal haben. Danke nochmal für die Hilfe Freude
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