Darstellungsmatrix

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07.02.2020, 17:53	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix Meine Frage: Guten Tag, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, nämlich: Ich habe eine Basis B = $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ gegeben und eine lineare Abbildung F:R^3 -> R^4 mit F(x,y,z) = (x + y, x + z, y + z, x - y -2z). Nun soll ich eine Basis des R^4 bestimmen, damit die Darstellunsgmatrix M(B,D)(F) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_{3} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Meine Ideen: Ich weiß wie M aussieht und auch was die Dartsellungsmtarix macht. Habe schon versucht die Bilder von F unter B auszurechnen und dann auf eine Basis D zu schließen, komme aber nicht drauf!
07.02.2020, 17:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt doch gut, was hast Du denn für die Bilder raus? Sind sie linear unabhängig? Lässt sich mit ihrer Hilfe vielleicht eine geeignete Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ finden?
07.02.2020, 18:05	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \\ -7 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Edit: Erster Vektor in B ist 1,2,3 nicht 1,2,2!! Die drei sind linear unabhängig. Muss ich die drei Vektoren nun mittels Basisergänzungssatz zu einer Basis des R^4 ergänzen? MFG und danke schon mal für deine Hilfe.
07.02.2020, 18:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist mein zweiter Hinweis gemeint gewesen Bedenke aber, welche Struktur die Darstellungsmatrix haben soll. Du kannst also nicht mit einem beliebigen Vektor ergänzen. EDIT: Ist die Forderung oben richtig dargestellt? Eine 4x4-Matrix wirst Du nicht erreichen können.
07.02.2020, 18:13	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal ein Edit: $\begin{eqnarray} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}) = (\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ -7 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Die M ja wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ muss ich dementsprechend mit ergänzen, damit (salopp gesagt) die Nullen herkommen. Ich würde den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen. Ist das so korrekt?
07.02.2020, 18:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du meinen Nachtrag noch gelesen? Eine 4x4-Matrix wirst Du bei einer Abbildung vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ in den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ nie erreichen können. Die Matrix wird immer 3 Spalten und vier Zeilen haben.
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07.02.2020, 18:20	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich habe die Basis B des R^3 gegeben, soewie die Abb. F: R^3 -> R^4 und ich soll eine Basis D des R^4 bestimmen, sodass M(B,D)(F) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_{3} & 0 \\ & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
07.02.2020, 18:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mich da nur wiederholen: Das höchste der Gefühle ist die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_{3}\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Etwas anderes ist mangels eines vierten Basisvektors im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ nicht möglich.
07.02.2020, 18:39	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe was du meinst. Folglich ist diese Aufgabe dann nicht lösbar, beziehungsweise nicht didaktische mathematisch durchdacht. Nun ich verstehe aber die Vorgehensweise und nur zum Verständnis. Für ein M(B,D)(F) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} E_{3} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bräuchte ich eine Abb. vom R^4 -> R^4 und eine Basis B mit vier Vektoren des R^4 richtig? Vielen Dank für die Hilfe!
07.02.2020, 18:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Ist Dir denn klar, wie an die Matrix erreichen könnte, die ich angegeben habe?
07.02.2020, 19:21	Matrixcalc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich müsse meine Basis aus den drei Vektoren die ich gefunden habe mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erweitern, oder?
07.02.2020, 20:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du gerade auf den? Ich hätte eher einen der vier Einheitsvektoren genommen, aber das ist natürlich kein muss. Es geht auch jeder andere Vektor, der linear unabhängig zu den drei ersten ist. Ist dir klar wieso?

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