Umkehrfunktion von ln

07.02.2020, 18:33	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion von ln Hallo zusammen, da ich mir nicht ganz sicher bin in welche Rubrik dieses Thema gehört, dachte ich mir ich poste es mal hier. Ich habe hier ein Beispiel gerechnet wo die Umkehrfunktion zu bilden ist. Aufgabe: $\begin{eqnarray} y=ln(x) \end{eqnarray}$ Meine Lösung: $\begin{eqnarray} y=ln(x) \end{eqnarray}$ / e-Funktion anwenden $\begin{eqnarray} e^{y} = e^{ln(x)} \end{eqnarray}$ / e-Funktion und ln heben sich auf $\begin{eqnarray} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=e^{y} \end{eqnarray}$ / Vertauschen von x und y $\begin{eqnarray} y=e^{x} \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} f(x)^{-1}=e^{x} \end{eqnarray}$ Stimmt meine Lösung? VG
07.02.2020, 19:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist korrekt. Beachte noch die zugehörigen Definitions- und Wertemengen.
07.02.2020, 19:23	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einordnung Schulmathematik Analysis ist richtig. Im Wesentlichen ist es korrekt. Die verkehrte Schreibweise $\begin{eqnarray} f(x)^{-1} \end{eqnarray}$ ist gegen $\begin{eqnarray} f^{-1}(x) \end{eqnarray}$ zu ersetzen. Nun solltest du auch Definitionsmenge und Zielmenge angeben. Sei dazu $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\to\mathbb R_{>0},\; f(x):=e^x. \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist dann $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(x)) = x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(f^{-1}(y))=y \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} f,f^{-1} \end{eqnarray}$ bijektiv und $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ ist eine Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . bzw. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist eine Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt kein hartes Bootstrapping der Analysis machen willst, kannst du die Logarithmenregeln aus dem Tafelwerk entnehmen und prüfen, ob die Voraussetzungen an $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auch erfüllt sind. Eigentlich wird $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als bijektiv nachgewiesen und $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ definiert. Das Logarithmengesetz dazu ist dann automatisch laut Definition erfüllt. Der abstrakte Satz zur obigen Argumentation: Sei $\begin{eqnarray} f\colon A\to B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\colon B\to A \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} g\circ f = \operatorname{id}_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\circ g = \operatorname{id}_B \end{eqnarray}$ , dann sind $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bijektiv und invers zueinander.
08.02.2020, 17:22	Mathman91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe.

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