Konvex/konkav mittels des Limes

07.02.2020, 19:06

vlb

Konvex/konkav mittels des Limes

Hey,
Mein Prof hat in der Lösung der Probeklausur gezeigt, dass eine Gunktion weder konvex noch konkav ist, indem er den limes (einmal gegen unendlich und minus unendlich) der 1. Ableitung berechnet hat, beides mal kam 0 heraus. Soweit, verstehe ich das.
Wie kann ich diese Vorgehensweise auf andere Funktionen übertragen ?
Beispielsweise ist die Normalparabel x hoch 2 konvex und ihre Ableitung ist 2x. Wenn ich davon den limes berechnen würde wäre das aber einmal unendlich und einmal minus unendlich... das spricht ja eigentlich für konvex und konkav,was aberf falsch ist. Kann mir jemand helfen ?

08.02.2020, 14:02

mYthos

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Du musst die 2. Ableitung befragen.
Diese ist in deinem Fall durchwegs gleich +2, also positiv. Die Kurve ist daher (überall) positiv gekrümmt, also konvex.

In anderen Fällen findet an den Nullstellen der 2. Ableitung Krümmungswechsel statt ..

mY+

08.02.2020, 14:06

vlb

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Hier danke. Ich weiß, dass das auch eine Möglichkeit ist. Das hat mein Prof auch am gleichen Beispiel gezeigt, aber das war eine deutlich kompliziertere Funktion in diesem Fall.

Unabhängig von B3ispielen würde mich jetzt einfach interessieren .. wenn der limes der 1 Ableitung Null ist, ist es klar, dass die Funktion weder konvex und konkav ist. Aber wie finde ich mit dieser Methode heraus, dass es konvex ist ? Oder konkav ?

Verstehst du was ich meine ? Mir ist die Möglichkeit mit der 2ten Ableitung klar und das kann man auch bei einfachen Funktionen wie x hoch 2 machen, aber bei der komplizierten Ableitung in der Probeklausur war die Methode mit dem Grenzwert die einfachere...

08.02.2020, 15:10

Finn_

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Wie soll das denn gehen? Krümmungsvorzeichen und Limes sind doch beides lokale Konzepte. Nur weil man etwas über den Limes der 1. Ableitung im Unendlichen weiß, heißt das nicht, dass damit automatisch das Krümmungsvorzeichen an jeder Stelle der Funktion bekannt ist.

Ein Gegenbeispiel dazu. Sei
$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R,\; f(x):=\exp(-x^2) \end{eqnarray*}$ .
Hier ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f'(x) = \lim_{x\to -\infty} f'(x) = 0. \end{eqnarray*}$
Der Graph ist aber keinesfalls ungekrümmt bzw. eine Gerade.

08.02.2020, 15:15

Finn_

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Ach so, jetzt verstehe ich. Es geht darum, dass es einen Vorzeichenwechsel bei der Krümmung gibt. Ja also wenn die Funktion stetig differenzierbar ist und der Limes der 1. Ableitung im Unendlichen verschwindet, dann muss es einen Krümmungswechsel geben, denn sonst wäre die Funktion konstant null, so die Überlegung.

08.02.2020, 15:25

vlb

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Hey Finn,
Danke für deine Antwort. Ich kann deiner Erklärung (2ter Beitrag) nur so halb folgen. Kannst du mir ein Beispiel geben oder es etwas konkreter machen ?
Wenn ich dich richtig verstehe, muss es von unendlich ins minus unendlich gehen bzw. umgekehrt und das könnte ich als konvex oder konkav interpretieren

08.02.2020, 16:16

Finn_

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Eine genauere Darlegung der Überlegung.

Satz. Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ einer Intervall mit den Randstellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , wobei auch das Unendliche zugelassen ist. Sei $\begin{eqnarray*} f\colon I\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar und sei
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} f'(x) = \lim_{x\to b} f'(x) = m. \end{eqnarray*}$
Außerdem sei $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht identisch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Dann muss es einen Krümmungswechsel geben.

Beweis. Es gibt nach Voraussetzung eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)\ne m \end{eqnarray*}$ . Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)>m \end{eqnarray*}$ . Dann muss es zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f''(x)>0 \end{eqnarray*}$ geben, denn sonst würde $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht anwachsen. Ebenso muss es zwischen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Stellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f''(x)<0 \end{eqnarray*}$ geben.

08.02.2020, 16:57

vlb

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Verzeihung Finn,
Ich verstehe es immer noch nur so halb. Vielleicht liegt daran, dass ich nur Wirtschaftswissenschaften studiere. Ich verstehe die Überlegung mit dem Krümmungswechsel durchaus, könnte jetzt aber nicht sagen wann konvex oder konkav

08.02.2020, 16:58

vlb

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Könntest du es vielleicht einmal erklären "für doofe" ? unglücklich

08.02.2020, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finn_
Satz. Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ einer Intervall mit den Randstellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , wobei auch das Unendliche zugelassen ist. Sei $\begin{eqnarray*} f\colon I\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar und sei
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} f'(x) = \lim_{x\to b} f'(x) = m. \end{eqnarray*}$

Alle linearen Funktionen erfüllen diese Bedingung, und sind sowohl konvex als auch konkav.

Es sollte also unbedingt in die Behauptung des Threaderstellers das Wörtchen "streng" eingefügt werden, d.h. "weder streng konvex noch streng konkav". Augenzwinkern

08.02.2020, 17:03

vlb

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Ich glaub ich habe. Von negativ mach positiv wäre konvex, umgekehrt konkav . (Unter der Bedingung, dass der ygrenzwet überhaupt existiert) Stimmts ? verwirrt

08.02.2020, 17:55

Finn_

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Das Krümmungsvorzeichen stimmt doch mit dem Vorzeichen der 2. Ableitung überein, welche anschaulich die Änderung des Tangentenanstiegs ist. Kommt man z.B. von einer waagerechten Tangente zu einer steigenden, dann muss sich der Anstieg irgendwo ins positive geändert haben, also gab es irgendwo eine positive Änderung des Anstiegs bzw. positive zweite Ableitung. Danach muss die Tangente wieder waagerecht werden, dafür bedarf es einer negativen Änderung des Anstiegs. Ergo kann der Graph nicht rein konvex oder rein konkav sein.

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