Abbildung auf komplexe Zahl injektiv und surjektiv

08.02.2020, 00:50

Abbildung auf komplexe Zahl injektiv und surjektiv

Meine Frage:
Hallo, ich soll überprüfen ob folgende Abbildung bijektiv ist:
$\begin{eqnarray*} f:???,z?\bar z \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Injektivität: Ich muss zeigen, dass f(z1)=f(z2) gilt und somit ist z1 = z2.
Da ich das für alle komplexen Zahlen zeige muss ich z1 = a + ib und z2 = c + id setzen.
Hieraus folgt:
f(z1) = f(z2)
a-ib = c-id

Mein Problem sind jetzt aber die komplexen Zahlen. Hätte ich eine lineare Funktion f(x) = x+4 müsste ich ja nur zeigen, dass x1=x2 ist, also
x1+4 = x2+4 /-4
x1=x2

Wie geht das jetzt bei den komplexen Zahlen?
Hätte jetzt a-ib = c-id / :i gerechnet
a-b= c-d

Surjektivität:
Hierzu hab ich folgenden Ansatz gefunden:
Gib eine komplexe Zahl u/bar u an, so dass gilt f(/bar u )= u. Wie lautet u/bar u ?
Kann mir das jemand erklären?

08.02.2020, 00:55

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RE: Abblidung auf Komplexe Zahl injektiv und surjektiv
Die Funktion ist f:C->C, z-> z (das letzte z mit überstrich)

08.02.2020, 07:08

Elvis

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C=R^2, und die komplexe Konjugation ist die Spiegelung an der reellen x-Achse.

08.02.2020, 10:17

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so weit bin ich auch:
z1 = a + ib und z2 = c + id setzen.
Hieraus folgt:
f(z1) = f(z2)
a-ib = c-id

08.02.2020, 12:46

Elvis

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Mir scheint, du hast mich nicht verstanden. In der euklidischen Ebene ist das die Spiegelung an der x-Achse, d.h. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,-y) \end{eqnarray*}$ .

08.02.2020, 12:59

Leopold

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Zitat:

Original von Im
so weit bin ich auch:
z1 = a + ib und z2 = c + id setzen.
Hieraus folgt:
f(z1) = f(z2)
a-ib = c-id

Vorsicht mit den logischen Sprachformeln. Hier wird nichts gefolgert, sondern etwas vorausgesetzt. Richtig müßte es so heißen:

Seien $\begin{align*} z_1 = a + \operatorname{i}b \end{align*}$ und $\begin{align*} z_2 = c + \operatorname{i}d \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b,c,d \in \mathbb{R} \end{align*}$ gegeben. Ferner gelte $\begin{align*} f(z_1) = f(z_2) \end{align*}$ . (An den Konjunktiven "seien" und "gelte" hört man, daß es sich um Voraussetzungen handelt).

Gemäß Definition von $\begin{align*} f \end{align*}$ folgt daraus:

a $\begin{align*} - \operatorname{i}b = c - \operatorname{i}d \end{align*}$

Jetzt verwende, daß zwei komplexe Zahlen genau dann übereinstimmen, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen.

08.02.2020, 16:28

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Achso Dankeschön.
Und wie weise ich nach dass sie surjektiv ist?

08.02.2020, 17:52

Elvis

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1. injektiv hast du noch nicht bewiesen.
2. surjektiv kannst du beweisen, indem du zu jedem $\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder zu jedem $\begin{eqnarray*} z=a+ib\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Urbild angibst.

08.02.2020, 20:36

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Wie muss ich es denn genau beweisen? Injektiv beweise ich ja grundlegend wie im Beispiel oben, indem ich zeige, dass x1 = x2 ist.
Wenn ich jetzt bei dem Schritt a −ib=c−id bin, wie geht es genau weiter.

08.02.2020, 21:56

Elvis

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Man sagt nicht "Achso Dankeschön", wenn man nichts verstanden hat. Empfehlung : Lerne die Definitionen der wichtigen Begriffe "Funktion", "injektiv", "surjektiv" so dass du sie anwenden kannst. Wie du etwas "genau" beweisen "musst", kann man nicht sagen, ein wie auch immer gearteter Beweis genügt. Daran musst du arbeiten. Die Aufgabe ist so leicht, dass sie von jedem Anfänger gelöst werden kann.

08.02.2020, 22:35

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Mein Achso Dankeschön war auf folgende Aussage bezogen: „Jetzt verwende, daß zwei komplexe Zahlen genau dann übereinstimmen, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen.“

Ich studiere kein Mathe und bin tatsächlich Anfänger. Ich verstehe auch wie ich bei einer linearen Funktion zb Beweise, dass diese injektiv ist, aber ich weiß tatsächlich nicht, wie ich dies bei dieser Funktion mit den komplexen Zahlen mache.
Auf die Aussage von oben bezogen muss ich jetzt nachweisen dass der imaginär und der Realteil von a-ib und c-id übereinstimmen. Wie kann ich dies denn am Besten schrittweise tun?
Ich würde mich echt über eine Antwort freuen.

09.02.2020, 07:38

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f(x, y)=(x,-y) \end{eqnarray*}$
injektiv: $\begin{eqnarray*} f(a, b) =f(c, d) \Rightarrow(a, - b) =(c, - d) \Rightarrow a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - b=-d\Rightarrow a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=d\Rightarrow (a, b) =(c, d) \end{eqnarray*}$
surjektiv: Urbild von $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a, - b) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(a, - b) =(a, -(-b)) =(a, b) \end{eqnarray*}$

09.02.2020, 08:38

Elvis

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In der Schule lernt man, dass Bewegungen (Translationen und Drehungen) der euklidischen Ebene eine Gruppe bilden. Zusammen mit Spiegelungen bilden sie die Gruppe der Isometrien, das sind abstandserhaltende Bijektionen der Ebene.

09.02.2020, 08:45

Elvis

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Oder mit komplexen Zahlen.
$\begin{eqnarray*} f(z) =f(x+iy) =x-iy \end{eqnarray*}$
injektiv: $\begin{eqnarray*} f(a+ib) =f(c+id) \Rightarrow a-ib=c-id\Rightarrow a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -b=-d \end{eqnarray*}$ ("Achso Dankeschön") $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=d\Rightarrow a+ib=c+id \end{eqnarray*}$
surjektiv: das Urbild von $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a-ib \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(a-ib) =f(a+i(-b)) =a+ib \end{eqnarray*}$

09.02.2020, 11:18

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Ich habe vorher nur einmal Injektivität und Surjektivität für lineare Funktionen nachgewiesen und dachte dass es viel schwieriger für komplexe Zahlen wird. Aber das ist ja tatsächlich gar nicht so.
Jetzt hab ich es auf jeden Fall verstanden, ich glaube hier passt das Dankeschön auch diesmal wirklich.
Es ist echt lieb, dass du mir so gut geholfen hast

09.02.2020, 11:26

Elvis

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Das habe ich nur gemacht, weil du nicht Mathematik studierst. Interessierten Laien muss man in besonderer Weise helfen, denn auf so etwas kommt man nicht allein.

Übrigens ist die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\to \mathbb C,z\mapsto \overline z \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung des reellen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Die Basis $\begin{eqnarray*} \{1,i\} \end{eqnarray*}$ wird auf die Basis $\begin{eqnarray*} \{1,-i\} \end{eqnarray*}$ abgebildet. Deshalb hättest du auch hier dein Wissen über lineare Abbildungen und Basen von Vektorräumen anwenden können. Genauso gut, wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb C=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als reellen Vektorraum ansiehst. Die Basis $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ wird auf die Basis $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ abgebildet, also ist das eine Bijektion.

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