Mehrdimensionale Extrema mit Eigenvektoren

10.02.2020, 10:34

SM!LE

Mehrdimensionale Extrema mit Eigenvektoren

Guten Tag,

ich habe etwas Probleme bei folgender Aufgabe:

Gegeben war folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} A=\left[\begin{array}{cc}3&2\\2&6\end{array}\right] \end{eqnarray*}$

Nun sollten die globalen Maxima der Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(\underline{x})=\underline{x}^T\cdot A\underline{x} \end{eqnarray*}$

unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(\underline{x})=1-x_1^2-x_2^2=0 \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Meine Lösungsidee:
Ich habe den Tipp bekommen die Aufgabe mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren zu lösen, also habe ich zunächst die Eigenwerte der Matrix A bestimmt.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=7~~~~\lambda_2=2 \end{eqnarray*}$

Da das globale Maximum gesucht ist, habe ich an dieser Stelle nur mit dem größten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \end{eqnarray*}$ weitergerechnet.
Ist das so erstmal korrekt ?

Ich habe dann den Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=7 \end{eqnarray*}$ bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \underline{v_{\lambda_1}}=r\cdot\left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right]~~~r\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich an dieser Stelle nicht so recht, wie ich von hier auf meine globalen Maxima komme.

Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Vielen Dank.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

10.02.2020, 10:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von SM!LE
unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(\underline{x})=1-x_1^2-x_2^2 \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Nebenbedingung ist wohl, dass mit dem so definierten $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} g(\underline{x})=0 \end{eqnarray*}$ gelten soll? verwirrt

10.02.2020, 10:52

SM!LE

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Natürlich die Nebenbedingung muss noch =0 gesetzt werden.

Aber die Nebenbedingung gibt doch einfach nur an, dass sich meine globalen Extrema auf dem Einheitskreis befinden müssen oder?

10.02.2020, 11:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von SM!LE
Aber die Nebenbedingung gibt doch einfach nur an, dass sich meine globalen Extrema auf dem Einheitskreis befinden müssen oder?

Irgendwie ein falscher Zungenschlag: Die globalen Extrema der Ausgangsfunktion (ohne NB) befinden sich mitnichten auf dem durch die NB definierten Einheitskreis. Tatsächlich gibt es auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gar keine globalen Extrema dieser Funktion. unglücklich

Du meinst sicher was ganz anderes: Es sollen die globalen Extrema der Funktion auf dem durch die NB eingeschränkten Definitionsbereich bestimmt werden.

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Zur Sache:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch, daher existiert eine aus Eigenvektoren bestehende Orthogonalmatrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = U\Lambda U^T \end{eqnarray*}$ , du hast ja $\begin{eqnarray*} \Lambda = \begin{pmatrix} 7 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch bereits ausgerechnet. Es folgt

$\begin{eqnarray*} f(\underline{x}) = \underline{x}^T UAU^T \underline{x} = \left(U^T\underline{x}\right)^T \Lambda \left(U^T\underline{x}\right) \end{eqnarray*}$ ,

und $\begin{eqnarray*} \underline{x} \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Einheitsvektor, wenn dies auch auf $\begin{eqnarray*} U^T\underline{x} \end{eqnarray*}$ zutrifft. Somit reduziert sich das Problem via $\begin{eqnarray*} \underline{y} := U^T\underline{x} \end{eqnarray*}$ auf das Problem

$\begin{eqnarray*} \underline{y}^T \Lambda \underline{y}\to \max! \end{eqnarray*}$ mit NB $\begin{eqnarray*} 1-y_1^2-y_2^2=0 \end{eqnarray*}$ .

Angesichts von $\begin{eqnarray*} \underline{y}^T \Lambda \underline{y} = 7y_1^2 + 2y_2^2 \end{eqnarray*}$ ist das ein leichtes Unterfangen. Augenzwinkern

10.02.2020, 11:15

Ehos

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In Polarkoordinaten reduziert sich die Aufgabe auf Schulmathematik. Da die Extrema gemäß der Nebenbedingung auf dem Einheitskreis R=1 liegen, kann man substituieren:

$\begin{eqnarray*} x=cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Zielfunktion $\begin{eqnarray*} z(x,y)=3x^2+6y^2+4xy \end{eqnarray*}$ ergibt eine Funktion, die nur noch von der einen Variablen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ abhängt.

10.02.2020, 11:29

Leopold

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Zitat:

Original von Ehos
Einsetzen in die Zielfunktion $\begin{eqnarray*} z(x,y)=3x^2+6y^2+4xy \end{eqnarray*}$ ergibt eine Funktion, die nur noch von der einen Variablen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ abhängt.

Man verlagert die Schwierigkeiten dann in einen kunstvollen Umgang mit der Trigonometrie.

10.02.2020, 16:19

SM!LE

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Vielen vielen Dank.
Ihr habt mir sehr geholfen. smile

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