Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten

10.02.2020, 15:30

TheD0do

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Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten

Meine Frage:
Guten Tag allerseits,

ich habe generell Probleme mit der Vollständigen Induktion.
Meine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 2^{4k} = \frac{16^{n+1}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Diese soll mithilfe der Vollständigen Induktion geprüft werden.

Meine Ideen:
Induktionsanfang/anker/start: habe ich schon gemacht und es ist 1=1.

Meine bisherige Rechnung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=0}^{n} 2^{4k}\right) + 2^{4(n+1)} \end{eqnarray*}$

1-> $\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1}{16-1} + 2^{4(n+1)} \end{eqnarray*}$

2-> $\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1}{16-1} + \left(2^{4}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

3-> $\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1}{16-1} + 16^{n+1} \end{eqnarray*}$

4-> $\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1 + 16^{n+1}*\left(16-1\right) }{16-1} \end{eqnarray*}$

und von nun an weiß ich nicht mehr wie ich weiter machen soll, bzw. kann.
Ebenso, weiß ich grade nicht, ob meine Schritte bisher richtig waren.

Ich würde mich sehr über Antworten freuen
Mit freundlichen Grüßen
Thomas

10.02.2020, 15:34

Nils Hoppenstedt

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Im Zähler 16^(n+1) ausklammern.

10.02.2020, 15:39

TheD0do

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Moin,
meinst du von diesem $\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$ das n+1?
Also aus dem 1->?

Wenn ja wie?

10.02.2020, 15:43

Nils Hoppenstedt

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Nein, ich meinte bei deiner letzten Zeile. Du warst nämlich schon fast fertig.

10.02.2020, 15:49

TheD0do

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Dann habe ich das hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}-1+16^{2n+2}-16^{n+1}}{16-1} \end{eqnarray*}$

und dann habe ich mir erlaubt ein wenig zu kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{16^{2n+2}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$

bzw. das hier habe ich mir auch noch aufgeschrieben
$\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+1}*16^{n+1}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$

10.02.2020, 15:49

Elvis

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Warum vollständige Induktion, wenn es auch direkt geht? $\begin{eqnarray*} x^{n+1}-1=(x-1)(1+...+x^n) \end{eqnarray*}$ bestätigt man durch ausrechnen.

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10.02.2020, 15:52

TheD0do

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Moin ganz einfache Antwort, weil mein Prof. das unbedingt sehen will :/

10.02.2020, 15:54

Nils Hoppenstedt

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Ne, nicht ganz. Es ja gilt 16^(n+1)*16 = 16^(n+2). Also n statt 2n.

10.02.2020, 15:57

HAL 9000

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@Elvis

Womöglich reagiert der Professor allergisch auf ... ("Pünktchen Pünktchen") in Formeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings würde ich dann die Partialsummenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ der Geometrischen Reihe gleich für alle komplexen $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ nachweisen. Nicht dass dann als nächste Induktionsaufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} 3^{3k} = \frac{27^{n+1}-1}{27-1} \end{eqnarray*}$

droht. Big Laugh

Big Laugh

10.02.2020, 15:58

TheD0do

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
@Nils Hoppenstedt
Oh ups stimmt, danke.

also ich habe es jetzt so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{16^{2}*16^{n}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$
oder so?
$\begin{eqnarray*} \frac{16*16^{n+1}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$

10.02.2020, 16:00

Nils Hoppenstedt

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Besser so:

$\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+2}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$

Dann bist du nämlich fertig!

10.02.2020, 16:02

TheD0do

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Zitat:

Original von HAL 9000

Allerdings würde ich dann die Partialsummenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ der Geometrischen Reihe gleich für alle komplexen $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ nachweisen. Nicht dass dann als nächste Induktionsaufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} 3^{3k} = \frac{27^{n+1}-1}{27-1} \end{eqnarray*}$

droht. Big Laugh

Big Laugh

Dies werde ich wohl danach einfach machen, erstmal das eine verstehen bevor man mehr macht :3

10.02.2020, 16:04

TheD0do

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten

Zitat:

Original von Nils Hoppenstedt
Besser so:

$\begin{eqnarray*} \frac{16^{n+2}-1}{16-1} \end{eqnarray*}$

Dann bist du nämlich fertig!

Oh, und woran macht man das aus wenn ich fragen darf? :|
das ist nämlich so mein Hauptproblem, wann weiß ich wann Schluss ist?

10.02.2020, 16:15

Nils Hoppenstedt

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Na das ist doch gerade die Aussage für n+1.

Du hast also die Formel für n = 1 gezeigt und dass aus der Gültigkeit für n die Gültigkeit für n + 1 folgt. Das ist alles was man für die vollständige Induktion braucht.

10.02.2020, 16:28

TheD0do

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RE: Vollständige Induktion mit n+1 im Exponenten
Alles klar Ok, erstmal vielen, vielen Dank!

Eine Frage habe ich dann noch und zwar $\begin{eqnarray*} 2^{4*1} = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{16^{1+1}-1}{16-1} =17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{16^{0+2}-1}{16-1} =17 \end{eqnarray*}$

es sind unterschiedliche Ergebnisse, also stimmt die Aussage (n+1) dann nicht oder?

10.02.2020, 17:01

Nils Hoppenstedt

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Du meinst die Aussage für n = 1, oder? Da fehlt links noch der Term für k = 0:

2^(4*0) + 2^(4*1) = 1 + 16 = 17

... passt also.

Nils

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