Ankreise

10.02.2020, 18:21

Elvis

Ankreise

Gegeben seien drei Radien. Man konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Dreieck, dessen Ankreise die gegebenen Radien haben.

10.02.2020, 22:40

Leopold

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Sind $\begin{align*} u,v,w \end{align*}$ die Radien der Ankreise der Seiten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ , so gelten

$\begin{align*} a = \frac{uv+uw}{\sqrt{uv+uw+vw}} \, , \ \ b = \frac{uv+vw}{\sqrt{uv+uw+vw}} \, , \ \ c = \frac{uw+vw}{\sqrt{uv+uw+vw}} \end{align*}$

Daraus kann man, $\begin{align*} u,v,w \end{align*}$ gegeben, $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ nach bekannten Verfahren konstruieren. Aber das wäre keine Konstruktion, die auf einer geometrischen Idee fußt, sondern nur die Übersetzung einer algebraischen Lösung ins Geometrische. Ich denke, Elvis will mehr.

Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid, die auf den obigen Formeln basiert.

11.02.2020, 00:02

Ulrich Ruhnau

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RE: Ankreise
[attach]50613[/attach]
Um den kastanienbraunen Kreis zu konstruieren, braucht man zwei von den Winkelhalbierenden der schwarzen Ausgangsgeraden, die das lila Ausgangsdreieck ABC definieren. Deren Schnittpunkt in der Kreismittelpunkt H. Dessen Radius findet sich mithilfe einer mittelblauen Senkrechten zur Ausgangsgeraden, die durch den Kreismittelpunkt geht. Und schon berührt der Kreis alle drei schwarzen Ausgangsgeraden.

11.02.2020, 00:33

riwe

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RE: Ankreise
gemeinsame Tangenten an die gegebenen Kreise wäre vermutlich eine Konstruktionsmöglichkeit

11.02.2020, 07:12

Elvis

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@Ulrich Ruhnau
Nicht das Dreieck ist gegeben, und nicht die Ankreise sind zu konstruieren.
@riwe
Nicht die Ankreise sind gegeben, sondern ihre Radien.
@Leopold
Danke für die Benutzung von Euklid. Deine Lösung werde ich mir gerne ansehen.
@ALLE
Erst selbst versuchen, dann werdet ihr merken, dass dies nicht trivial ist.

11.02.2020, 11:03

riwe

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Zitat:

Original von Elvis
@Ulrich Ruhnau
Nicht das Dreieck ist gegeben, und nicht die Ankreise sind zu konstruieren.
@riwe
Nicht die Ankreise sind gegeben, sondern ihre Radien.
@Leopold
Danke für die Benutzung von Euklid. Deine Lösung werde ich mir gerne ansehen.
@ALLE
Erst selbst versuchen, dann werdet ihr merken, dass dies nicht trivial ist.

habe es schon gemerkt traurig

11.02.2020, 11:39

Elvis

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@Leopold
Danke, das sieht sehr gut aus. Den 1. Preis für Geschwindigkeit hast du schon mal sicher, und deine Lösung funktioniert. Ich habe die Konstruktion verstanden und nebenbei etwas mehr über DynaGeo gelernt.
@ALLE
Alternative Lösungen sind immer willkommen. Gibt es eine Lösung, die ohne Algebra auskommt, also rein geometrisch schon von Euklid hätte gefunden werden können ? Ich stelle mir vor, dass man mit u,v,w beginnt und nichts als Papier (oder Sandkasten), Zirkel und Lineal (und Stifte) benutzt.

11.02.2020, 16:26

HAL 9000

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Wobei in dem Euklid-File die wirkliche Konstruktion aus $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ fehlt. Soweit ich sehe, wird das Dreieck ABC aus den per obigen Formeln berechneten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gezeichnet und dann anschließend dazu die Ankreise konstruiert.

Aber ich denke, wir alle trauen Leopold zu, dass er Längen wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{uv+uw+vw} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ konstruieren kann. Würde man das auch alles in den Euklid-File einbauen, müsste man vermutlich "anbauen" (d.h. ein Bildschirmblatt könnte knapp werden). Big Laugh

So schlimm ist es ingesamt gesehen nun aber auch wieder nicht, aber man hat schon das Gefühl, dass das Gesamtproblem auch einfacher (d.h. mit weniger Konstruktionsschritten) lösbar sein sollte.

11.02.2020, 16:46

Leopold

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Ich war sowieso dabei, die Konstruktion noch nachzuliefern. Sie ist natürlich nicht genuin geometrisch, da sie nur nach gängigen Mustern die Formeln geometrisch nachbildet. Nichtsdestotrotz jetzt die Anleitung. Sie verwendet nur den Höhensatz und den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck. $\begin{align*} u,v,w \end{align*}$ seien die Radien der Ankreise zu den Seiten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ .

1. Schritt:

Man konstruiert nach dem Höhensatz die Höhe $\begin{align*} x = \sqrt{uv} \end{align*}$ im rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten $\begin{align*} u,v \end{align*}$ .

2. Schritt:

Analog dem 1. Schritt konstruiert man $\begin{align*} y = \sqrt{uw} \end{align*}$ .

3. Schritt:

Analog dem 1. Schritt konstruiert man $\begin{align*} z = \sqrt{vw} \end{align*}$ .

4. Schritt:

Man konstruiert die Hypotenuse $\begin{align*} h = \sqrt{x^2 + y^2} \end{align*}$ im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\begin{align*} x,y \end{align*}$ . Mit $\begin{align*} h \end{align*}$ als erster Kathete und $\begin{align*} z \end{align*}$ als zweiter Kathete konstruiert man in einem neuen rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse $\begin{align*} l = \sqrt{h^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{align*}$ . (Letztlich konstruiert man also die Raumdiagonale eines Quaders mit den Kanten $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ .)

Die Strecke $\begin{align*} l = \sqrt{uv + uw + vw} \end{align*}$ ist der Nenner in den Formeln für $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ aus meinem ersten Beitrag.

5. Schritt:

Man wählt $\begin{align*} h \end{align*}$ als Höhe und $\begin{align*} l \end{align*}$ als Hypotenusenabschnitt eines rechtwinkligen Dreiecks. Der andere Hypotenusenabschnitt ist nach dem Höhensatz dann

$\begin{align*} a = \frac{h^2}{l} = \frac{uv + uw}{\sqrt{uv + uw + vw}} \end{align*}$

Die Konstruktion von $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ erfolgt analog.

Zitat:

Original von HAL 9000
So schlimm ist es ingesamt gesehen nun aber auch wieder nicht, aber man hat schon das Gefühl, dass das Gesamtproblem auch einfacher (d.h. mit weniger Konstruktionsschritten) lösbar sein sollte.

Mich würde interessieren, ob Elvis eine echt-geometrische Lösung bereits kennt oder einfach einmal auf gut Glück ein interessantes Problem gestellt hat.

11.02.2020, 17:12

riwe

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mit der Formel von Leopold kann man das Problem auch etwas einfacher knacken oder "geometrisch optimieren" Augenzwinkern

es genügt, die Zähler zu konstruieren, was ja einfach ist, und anschließend zu strecken.
(glaube ich zumindest)

11.02.2020, 17:47

Elvis

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Ich habe keine geometrische Lösung, obwohl ich vor einem halben Menschenalter wochenlang danach gesucht habe. Wir haben damals das Interesse an dem Problem verloren, nachdem der Initiator verkündet hatte, er habe eine Lösung - er hat aber nie verraten, wie diese aussieht. Also ist das für uns heute ein offenes Problem, und wer es löst, ist schlauer als alle, die es nicht lösen.

11.02.2020, 17:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von riwe
es genügt, die Zähler zu konstruieren, was ja einfach ist

Ist es das? Das sind Flächen, die kann man nicht unmittelbar als Strecken konstruieren. Mit einer geeigneten, gemeinsamen Bezugsstrecke kann man natürlich Strecken daraus machen, die sich proportional zu diesen Flächeninhalten verhalten. Ist dann aber auch nicht mehr so signifikant einfacher als Leopolds Pythagoräische Konstruktionen.

11.02.2020, 18:53

riwe

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von riwe
es genügt, die Zähler zu konstruieren, was ja einfach ist

ohne die Idee von Leopold sehe ich kein Ufer,
für mich ist eine Multiplikation doch einfacher, da mit dem Strahlensatz zu erledigen,
aber ist ja höchstens ein Streit um des Kaisers Bart oder Kleider.

11.02.2020, 18:58

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
nachdem der Initiator verkündet hatte, er habe eine Lösung - er hat aber nie verraten, wie diese aussieht.

Warum, Elvis, schwindelst du mit deinem Alter? Da steht 67 bei dir. Wenn du aber Fermat noch gekannt hast, mußt du an die 400 Jahre alt sein.

11.02.2020, 19:06

Elvis

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Oh, nicht der Initiator, sondern ein Initiator: "ein Initiator ist ein Mensch, der willens und in der Lage ist, neue Dinge anzustoßen oder den letzten Anstoß für eine notwendige oder gewinnbringende Maßnahme zu geben".

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