Konfidenzintervall

10.02.2020, 21:30

*Lisa*

Konfidenzintervall

Meine Frage:
Hallo,
Ein fairer Würfel wird 200 mal geworfen.
Gesucht ist nun ein Intervall, in dem die Anzahl der auftretenden Sechsen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% enthalten ist.

Leider weiß ich nicht so richtig wie ich hier anfangen soll.
Ich habe schon:
Erwartungswert E(X) = n * p = 100/3
Varianz = n*p*(1-p) = 250/9
Standardabweichung = Wurzel aus der Varianz.

Könnte mir jemand erklären, wie ich so ein Intervall aufstellen kann?

LG Lisa

Meine Ideen:
-

10.02.2020, 23:11

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konfidenzintervall

Zitat:

Original von *Lisa*
Meine Frage:
Hallo,
Ein fairer Würfel wird 200 mal geworfen.
Gesucht ist nun ein Intervall, in dem die Anzahl der auftretenden Sechsen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% enthalten ist.
-

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ sodaß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=x_1}^{x_2} P(X=k)>0{,}99 \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Häufigkeit der Sechsen binomialverteilt.

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \left(\frac16\right)^k\binom{n}{k}\left(\frac56\right)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Um mühseliges Tippen beim Bestimmen der Summe zu vermeiden, sind Tabellenwerke für kumulierte Binomialverteilungen verfügbar. Hast Du etwas passendes für $\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=\frac16 \end{eqnarray*}$ ? Oder hast Du nur eine Tabelle, die sich auf die kumulierte Normalverteilung bezieht? Im zweiten Fall solltest Du $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bestimmen.

11.02.2020, 04:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollte der Fragesreller zumindest nach einer minimalen Intervalllänge fragen verwirrt

Denn so ergibt sich kein Sinn, denn das Intervall $\begin{eqnarray*} [5,55] \end{eqnarray*}$ ist sicherlich auch ohne Rechnung eine Lösung.

mit Symmetrie üblich so :

1. $\begin{eqnarray*} Max( x_1) : \sum_{0}^{x_1} fBI < 0.005 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} Min( x_2) : \sum_{x_2}^{200} fBI < 0.005 \end{eqnarray*}$

Andererseits kann hier auch die Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \mu , \sigma \end{eqnarray*}$ angewandt werden.

Die Trefferanzahl liegt dann mit 99% im Intervall $\begin{eqnarray*} \mu \pm 2.56 \sigma \end{eqnarray*}$

11.02.2020, 14:19

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konfidenzintervall
Anmerkung zur Wortwahl:

Zitat:

Original von *Lisa*
Gesucht ist nun ein Intervall, in dem die Anzahl der auftretenden Sechsen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% enthalten ist.

Das gesuchte Intervall heißt nicht Konfidenzintervall, sondern Prognoseintervall.

Ein Prognoseintervall ist ein Intervall, in dem die Werte einer Zufallsgröße bei gegebener Verteilung der Zufallsgröße mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen. Die Zufallsgröße ist hier die Zahl der Sechsen. Die gegebene Verteilung ist die Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p= \frac 1 6 \end{eqnarray*}$ , die eventuell durch die Normalverteilung angenähert werden kann.

Eine Konfidenzintervall ist ein Intervall, das einen unbekannten Parameter einer Verteilung mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdeckt. Wüsste man nicht, dass man mit einem fairen Würfel würfelt, wäre also die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , mitd er eine Sechs gewürfelt wird, unbekannt und hätte man in einer Stichprobe eine bestimmte Zahl von Sechsen gefunden, so könnte man aus dem Stichprobenergebnis ein Konfidenzintervall für den unbekannten Wert von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ berechnen.

11.02.2020, 15:00

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt kein Prognoseintervall mit der Breite 27 das das leistet.

Am kleinsten ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$ mit Breite $\begin{eqnarray*} x_2-x_1=28 \end{eqnarray*}$ und 29 Summanden.

Aber penibel gerechnet ist das nicht eindeutig, denn

[18,46] ---> 0.9913
[19,47] ---> 0.9937
[20,48] ---> 0.9943
[21,49] ---> 0.9931

Neue Frage »

Antworten »

Konfidenzintervall

Verwandte Themen