Fourierreihe

11.02.2020, 11:22	Captn. Limes	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe Meine Frage: $\begin{eqnarray} Hallo, ich möchte gerne die Reihe für f(x)=-x im Intervall \[[-\pi,\pi]\] aufstellen.<br /> Ich habe folgende Definitionen:<br /> <br /> \[f(x)=\frac{1}{L} \sum\limits_{k}^{} \tilde{f}_{k} e^{ikx} \]<br /> \[ \tilde{f}_{k}=\int_{I}^{} \! dx \, f(x)e^{-ikx} \]<br /> \[k=\frac{2\pi n}{L} \]<br /> Wenn ich das nun einsetze erhalte ich:<br /> <br /> \[ \tilde{f}_{k}=\int_{-\pi }^{\pi } \! dx \, -xe^{-ikx}=\left[-\dfrac{\left(\mathrm{i}kx+1\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}}{k^2}\right]_{-\pi }^{\pi } \]<br /> Nach umformen erhalte ich:<br /> \[\dfrac{2\mathrm{i}\left(\sin\left({\pi}k\right)-{\pi}k\cos\left({\pi}k\right)\right)}{k^2}\]<br /> <br /> und ab hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Wie setze ich das in die obere Definition der Reihe und wie verhält es sich mit der Länge?<br /> <br /> Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ...
11.02.2020, 11:32	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Willkommen im Matheboard! Bis jetzt alles richtig, nur schwer zu lesen. Die Länge ist das Intervall. Und nun setz mal ein paar k ein. Du merkst ziemlich schnell, was dann für Terme entstehen, oder? Viele Grüße Steffen
11.02.2020, 11:39	Captn. Limes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Sorry. da ist wohl was schief gelaufen. So soll es sein: Ich möchte $\begin{eqnarray} f(x)=-x , \left[-\pi ,\pi \right] \end{eqnarray}$ als Reihe darstellen. Folgende Definitionen habe ich gegeben: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{L} \sum\limits_{k}^{} \tilde{f}_{k} e^{ikx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{k}=\int_{I}^{} \! dx \, f(x)e^{-ikx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=\frac{2\pi n}{L} \end{eqnarray}$ Ideen: Folgendes erhalte ich: $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{k}=\int_{-\pi }^{\pi } \! dx \, -xe^{-ikx}=\left[-\dfrac{\left(\mathrm{i}kx+1\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}}{k^2}\right]_{-\pi }^{\pi } \end{eqnarray}$ Nach umformen: $\begin{eqnarray} \dfrac{2\mathrm{i}\left(\sin\left({\pi}k\right)-{\pi}k\cos\left({\pi}k\right)\right)}{k^2}\ \end{eqnarray}$
11.02.2020, 11:42	Captn. Limes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe D.h. meine Länge ist $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ Was meinst du mit einsetzen? Bzw. bis zu welchem k ist es sinnvoll und was wäre dann mein explizites Ergebnis?
11.02.2020, 11:45	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Naja, k=1, k=2, k=3 sollte schon reichen, um es zu erkennen. Du kannst aber auch generell überlegen, was $\begin{eqnarray} \sin k \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos k \pi \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ergibt.
12.02.2020, 16:34	Captn. Limes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Hallo. Danke für die Antowot. Ich habe jetzt folgendes: $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{1} = \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{2} = -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{3} = \frac{\pi }{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{4} = -\frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} k= \frac{2\pi n}{L} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow k=n \end{eqnarray}$ Dann kann ich für $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{k} \end{eqnarray}$ schreiben: $\begin{eqnarray} \tilde{f}_{n} = -\frac{\pi }{n}\cdot \left(-1\right) ^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2\pi } \sum\limits_{n=1}^{\infty} -\frac{\pi }{n}\cdot \left(-1\right) ^{n} \cdot e^{inx} \end{eqnarray}$
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12.02.2020, 16:50	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Du hast das i unterschlagen, die Koeffizienten sind allesamt imaginär. Im Endergebnis kann man dann natürlich noch das $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kürzen, sieht schöner aus. EDIT: der zuerst beanstandete Vorzeichenfehler war falsch beanstandet...
12.02.2020, 18:46	Captn. Limes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe Wenn ich genau schaue, habe ich nicht nur das i unterschlagen, sondern auch die 2. Es müsste dann also so aussehen: der sinus ist für jedes k Null.. bleibt also noch das stehen: $\begin{eqnarray} -\frac{2i\pi k \cos(\pi k)}{k^{2} } = -\frac{2i\pi \cos(\pi k)}{k } \end{eqnarray}$ Dann bekomme ich wegen k=n $\begin{eqnarray} \tilde{f_{n} } =- \frac{2\pi i}{n}\left(-1\right) ^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x)=-i\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(-1\right) ^{n}\cdot e^{inx} \end{eqnarray}$

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