Erwartungswert-Ungleichung mit konvexer Funktion

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Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert-Ungleichung mit konvexer Funktion
Hallo zusammen,

mir ist nicht klar, warum folgende "Tatsache" gilt:

Angenommen sind Zufallsvariablen mit den selben Erwartungswert. Ferner sei angenommen, dass nur zwei Extremwerte annimmt, während Werte zwischen diesen zwei Extremwerte annimmt. Sei eine konvexe Funktion. Dann gilt .

Die Jensen Ungleichung besagt ja, das bzw. und ferner soll ja gelten, also auch .

Ich weiß nicht wie man mithilfe dessen die obige Tatsache folgern kann. Kann mir jemand hierbei helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Seien und (mit ) die beiden Randpunkte des Intervalls, auf dem verteilt ist, und damit gleichzeitig die einzigen beiden Werte, die annehmen kann. Für alle gilt nun aber der Konvexität wegen (in Worten: die konvexe Kurve liegt im gesamten Intervall unterhalb der Verbindungsstrecke der beiden Kurvenendpunkte). Damit folgt



Letzteres beruht darauf, dass nur die beiden Werte annehmen darf - rechne das mal nach!


EDIT (13.2.): Da hat der Waldemar wohl das Interessse verloren.
 
 
Waldemar123456789 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Letzteres beruht darauf, dass nur die beiden Werte annehmen darf - rechne das mal nach!


EDIT (13.2.): Da hat der Waldemar wohl das Interessse verloren.


Aufgrund von gilt und damit



gilt. Danke für deine Hilfe HAL 9000
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