Fourieranalyse

13.02.2020, 15:49	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourieranalyse Guten Tag, ich bin mir nicht ganz sicher, ob die Fourierreihe folgender Funktion richtig bestimmt habe. Gegeben sei die $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ -periodische Funktion: $\begin{eqnarray} f(t)=sin(t)~~~t\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray}$ . Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \omega=\frac{2\pi}{T}=4 \end{eqnarray}$ Bestimmung von $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_0=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)~\text{d} t}=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t)~\text{d} t}=\frac{4}{\pi}\cdot\left[-\cos(t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{\pi}\cdot(0+1)=\frac{4}{\pi} \end{eqnarray}$ Bestimmung von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_n&=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)\cdot\cos(\omega nt)~\text{d} t}=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t)\cdot\cos(4nt)~\text{d} t}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin(t\cdot(1-4n))+\sin(t\cdot(1+4n))\right)~\text{d} t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t\cdot(1-4n))~\text{d} t}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t\cdot(1-4n))~\text{d} t}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\left[-\cos(t\cdot(1-4n))\cdot\frac{1}{1-4n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[-\cos(t\cdot(1+4n))\cdot\frac{1}{1+4n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\underbrace{-\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot(1-4n)\right)\cdot\frac{1}{1-4n}}_{0}+\frac{1}{1-4n}-\underbrace{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot(1+4n)\right)\cdot\frac{1}{1+4n}}_{0}+\frac{1}{1+4n}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\frac{1+4n+1-4n}{1-16n^2}\right)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{4}{1-16n^2} \end{eqnarray}$ Bestimmung von $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} b_n=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)\cdot\sin(\omega nt)~\text{d} t}=\frac{4}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin(t)\cdot\sin(4nt)~\text{d} t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos(t\cdot(1-4n))-\cos(t\cdot(1+4n))\right)~\text{d} t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos(t\cdot(1-4n))~\text{d} t}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos(t\cdot(1-4n))~\text{d} t}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\left[\sin(t\cdot(1-4n))\cdot\frac{1}{1-4n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\sin(t\cdot(1+4n))\cdot\frac{1}{1+4n}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot(1-4n)\right)}_{1}\cdot\frac{1}{1-4n}-\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot(1+4n)\right)}_{1}\cdot\frac{1}{1+4n}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{\pi}\cdot\left(\frac{1+4n-1+4n}{1-16n^2}\right)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{16n}{1-16n^2} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich dann folgende Fourierreihe: $\begin{eqnarray} Ff(t)=\frac{2}{\pi}\cdot\left(1+2\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{1-16n^2}\cdot\cos(4nt)}+8\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{1-16n^2}\cdot\sin(4nt)}\right) \end{eqnarray}$ Ihr würdet mir sehr helfen, wenn Ihr meinen Lösungsweg bestätigen könntet bzw. mir aufzeigt wo ich einen Fehler gemacht habe. Vielen Dank. Mit freundlichen Grüßen SM!LE
13.02.2020, 16:08	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourieranalyse Ich kann keinen Fehler feststellen, und der Plot Deiner Reihe zeigt auch eine wunderschöne periodische Viertelwelle. Viele Grüße Steffen
13.02.2020, 19:02	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Super. Vielen Dank. Ich hatte auch versucht das zu plotten aber Wolfram Alpha hat sich irgendwie geweigert. lag sicher am Bediener Womit hast du die Fourier-Reihe geplottet?
13.02.2020, 19:07	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Och, das ist ein uraltes Mathcad aus den 90ern. Ich hab die Reihe so eingegeben, statt Unendlich 42 genommen und schon war die Kurve da.
13.02.2020, 19:12	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat bei Wolfram auch geholfen. Hab vielen Dank.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »