Fresnel-Integrale von flammablemath

13.02.2020, 20:00	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
Fresnel-Integrale von flammablemath Das Update-Video zum Fresnel-Integral von flammablemath auf YouTube (ww.youtube.com/watch?v=cHUGjqHIP6c) ist (soweit ich weiß) immer noch nicht sauber, weil beim Grenzwert $\begin{eqnarray} t\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ vergessen wurde, dass die obere Grenze dabei auch gegen Unendlich geht. Mein Versuch, das Ganze zu retten, ist ähnlich zum Beweis, dass die Fourier-Trafo von vielen Funktionen für $\begin{eqnarray} \omega\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ verschwindet. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} <br /> f:[0;1]\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}, \quad f(u,t):=\frac{ie^{-it^2(1+u^2)}}{1+u^2},\qquad\lim_{t\rightarrow\infty}\int_0^1f(u,t)\:du\overset{?}{=}0<br /> \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} 1>\varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Die untere Grenze wird Probleme machen, also schätzen wir das Integral dort per Dreiecksungleichung ab: $\begin{eqnarray} \|f(u,t)\|=\frac{1}{1+u^2}\leq 1\quad\Rightarrow\quad\left\|\int_0^\varepsilon f(u,t)\:du\right\|\leq\varepsilon \end{eqnarray}$ Beim Restintegral substituieren wir $\begin{eqnarray} v:=u^2,\:v\rightarrow u \end{eqnarray}$ und lassen dann partielle Integration auf die e-Funktion im Zähler und den Rest los: $\begin{eqnarray} <br /> \int_\varepsilon^1f(u,t)\:du\underset{\text{Subst.}}{=}i\int_{\varepsilon^2}^1\frac{e^{-it^2(1+u)}}{<br /> (1+u)<br /> }\:\frac{du}{2\sqrt{u}}\underset{\text{part. Int.}}{=}\frac{\cancel{i}}{2(-\cancel{i}t^2)}\left(\left.e^{-it^2(1+u)}\cdot\frac{1}{(1+u)\sqrt{u}}\right\|_{\varepsilon^2}^1-\int_{\varepsilon^2}^1e^{-it^2(1+u)}\cdot\frac{-(3u+1)}{2(1+u)^2\sqrt{u}^3}\:du\right)<br /> \end{eqnarray}$ Beide Summanden in der Klammer sind unabhängig von t beschränkt (Begründung wie beim ersten Integral), also ist die rechte Seite kleiner als ein $\begin{eqnarray} M_\varepsilon \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left\|\int_\varepsilon^1f(u,t)\:du\right\|\leq\frac{1}{t^2}M_{\varepsilon}<\varepsilon\quad\text{für}\quad t>\sqrt{\frac{M_\varepsilon}{\varepsilon}} \end{eqnarray}$ Mit einer letzen Dreiecksungleichung sind wir fertig: $\begin{eqnarray} <br /> \left\|\int_0^1f(u,t)\:du\right\|\leq\left\|\int_0^\varepsilon f(u,t)\:du\right\|+\left\|\int_\varepsilon^1f(u,t)\:du\right\|\leq 2\varepsilon\qquad\blacksquare<br /> \end{eqnarray}$

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