Cauchy-Kriterium für Reihen |
| 14.02.2020, 13:14 | MusterAlex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Cauchy-Kriterium für Reihen Soweit ich die Definition des Cauchy-Kriteriums für Konvergenz verstanden habe, soll es für alle positiven Zahlen ( Epsilon) einen natürlichen Index (N) geben, so dass der Betrag der Summe der Folgenglieder m bis n kleiner als Epsilon ist, falls n>m>=N gilt. Das kann ich mir aber beim besten Willen nicht vorstellen, bzw. es "glauben". Meine Ideen: Die Definition für Cauchy-Folgen ist mir bekannt, und es erscheint mir auch sehr einleuchtend, dass die Differenz zweier beliebiger Folgenglieder einer konvergenten Folge ab einem gewissen Index beliebig klein wird. Aber zu dem Kriterium für Reihen, Falls wir eine Folge betrachten, die gegen 5 konvergiert, dann ist die Summe zweier oder mehrerer Folgenglieder doch niemals zwangsläufig Null. Ich meine 4,8+4,9=9,7 aber sollte das nicht nach dem Cauchy-Kriterium ab einem Index N zu 0 werden??? Also wo ist mein Denkfehler? Habe ich die Definition falsch aufgefasst? Vorläufig schonmal vielen Dank an alle die sich beteiligen. |
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| 14.02.2020, 13:44 | Nils Hoppenstedt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Cauchy-Kriterium für Reihen
Nur wenn die Reihe konvergiert.... das tut sie hier aber gar nicht. 
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| 14.02.2020, 13:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sind zu viele Worte, deshalb wird es unverständlich. Schreibe formal auf, was du definieren möchtest, dann passt es. Für eine Cauchyfolge wird die Differenz von Folgegliedern beliebig klein. Übertragen auf eine Reihe heißt das, dass die Differenz von Partialsummen beliebig klein wird, und die Differenz von Partialsummen ist eine Summe kleiner Folgenglieder. |
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| 14.02.2020, 14:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gegenfrage: Nenn mir doch bitte mal eine konvergente Reihe , deren Glieder gegen 5 konvergieren, d.h. ... |
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| 21.02.2020, 22:13 | [email protected] | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Cauchy-Kriterium für Reihen Ok nun habe ich den Punkt gesehen. Ist zwar schon ein bisschen her aber ich dachte mir ich bringe diesen Beitrag doch nocheinmal ein, um das Thema damit abzuschließen. Mir war während dieser Fragestellung bzgl. des Cauchy-Kriteriums nicht klar, dass Folgenglieder konvergenter Reihen Nullfolgen bilden müssen, da sonst nach dem Trivialkriterium eine Divergenz folgt. Damit ergibt es auch Sinn, dass ab einem gewissen Index die Summen der Folgenglieder bzw. die Differenzen der Partialsummen beliebig klein werden. Ebenso wird es nicht möglich sein, eine konvergente Reihe zu finden, bei der ab einem gewissen Index k>k0 zwei Folgenglieder der Gestalt 4,8 und 4,9 aufaddiert werden. |
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