Ableitungen (Produkt/Kettenregel)

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14.02.2020, 15:01	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen (Produkt/Kettenregel) Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zu den Ableitungen von folgender Funktion: $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = 2xe^{-0,5x} <br /> \end{eqnarray}$ Es sollen alle drei Ableitungen definiert werden. Wenn ich die Funktion durch einen Ableitungsrechner laufen lassen kommen bei der 2. und 3. Ableitung andere Ergebnisse heraus. Ich verstehe meinen Fehler nicht. Der Rechenenweg für alle Ableitungen ist angehängt. $\begin{eqnarray} <br /> f`(x) = e^{-0,5x}\left(2 - x\right) <br /> <br /> f``(x) = e^{-0,5x}\left(-1 - \frac{2-x}{2} \right) <br /> <br /> f```(x) = -\frac{e^{-0,5x}}{2} \left(-1 - \frac{x}{2} \right) <br /> \end{eqnarray}$ Vielen Dank für eure Unterstützung und ein schönes Wochenende, Robbs
14.02.2020, 15:30	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitungen (Produkt/Kettenregel) Achtung bei $\begin{eqnarray} f'' \end{eqnarray}$ hast du als erstes auf der rechten Seite $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ stehen; hier müsste $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ stehen. Fasse bei $\begin{eqnarray} f'' \end{eqnarray}$ alle gleichartigen Terme in der Klammer zusammen und du erhälst das Ergebnis, das mir der online https://www.ableitungsrechner.net/ liefert. Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} f''' \end{eqnarray}$ ist dir in der ersten Zeile ein Vorzeichenfehler bei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ unterlaufen. Berechne dein Ergebnis erneut.
14.02.2020, 15:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ersten beiden Ableitungen sollten korrekt sein, jedoch lässt sich die zweite noch vereinfachen: $\begin{eqnarray} \left( -1 - \frac{2-x}2 \right) = \left( \frac{-2}2 - \frac{2-x}2 \right) = \frac{x-4}2 = \frac x2 -2 \end{eqnarray}$ Bei der dritten ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Anstelle -0,5 muss es am Anfang +0,5 heißen. EDIT: zyko war schneller.
14.02.2020, 16:59	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zyko, hallo Helferlein, vielen Dank für eure Kommentare und Verbesserungsvorschläge. Ich stehe bei dem Vorzeichenfehler noch auf dem Schlauch. Daher ist die dritte Ableitung nochmal mit "meiner" Anfängerversion der 2. Ableitung gerechnet, damit ich den Fehler verstehe. Ich habe bei der 3. Ableitung die $\begin{eqnarray} e^{0,5x} \end{eqnarray}$ aus der 2. Ableitung von vorne nach hinten getauscht (fällt mir leichter zu rechnen). Das hat vielleicht etwas Verwirrung gestiftet. Habe das nochmal angehängt. Meint ihr das "erste" 0,5 oder das "zweite"? Der Ableitungsrechner verwirrt mich total. (Ergebnis der dritten Ableitung ist auch angehängt) Danke und Grüße
14.02.2020, 17:16	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
...wenn ich die dritte Ableitung mit der "verbesserten" Version der 2. Ableitung ( $\begin{eqnarray} e^{-0,5x} \left(\frac{x-4}{2}\right) \end{eqnarray}$ ) rechne , kommt folgendes raus: $\begin{eqnarray} <br /> e^{-0,5x} \left(\frac{6-x}{4}\right) <br /> \end{eqnarray}$ sieht auf jeden Fall besser aus, aber den Fehler verstehe ich immer noch nicht. Sorry
14.02.2020, 17:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die -0,5x bei deiner zweiten Ableitung sind falsch. $\begin{eqnarray} -1+(2-x) \cdot (-0,5) = -1 +2 \cdot (-0,5) -x \cdot (-0,5) = -1-1+0,5x=-2+0,5x \end{eqnarray}$ Und was deinen letzten Versuch angeht: Das ist genau dasselbe Ergebnis wie das vom Ableitungsrechner. Er hat nur den Faktor -1 vor den Bruch gezogen,
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14.02.2020, 18:08	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
ah jetzt habe ich's verstanden. Vielen Dank und ein schönes WE, Robbs
14.02.2020, 21:23	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
ach....da wäre noch was.. bin grade nochmal auf eine ganz komische Aufgabe gestoßen: Ich brauch von einer Funktion die Steigung und scheitere schon an der ersten Ableitung $\begin{eqnarray} <br /> K(x) = \frac{x^{0,8}+4}{5+x^{0,1} } <br /> \end{eqnarray}$ Der Ableitungsrechner kommt auf ein ziemlich komisches Ergebnis: $\begin{eqnarray} <br /> K'(x) =\dfrac{7x+40x^\frac{9}{10}-4\sqrt[5]{x}}{10\left(\sqrt[10]{x}+5\right)^2x^\frac{11}{10}}<br /> \end{eqnarray}$ ...irgendetwas ist da faul...(wahrscheinlich ich) Meine Versuche sind angehängt. Prinzipiell könnte man damit wahrscheinlich schon eine Steigung in einem Punkt ausrechnen, aber ich glaub, dass der Fehler in der irgendwo anders steckt. Was meint ihr ? Vielen Dank!
14.02.2020, 21:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis sieht nicht schlecht aus, obgleich es viele Darstellungsmöglichkeiten dafür gibt und ich es bis jetzt nicht im Einzelnen überprüft habe. Das (ein) Extremum liegt übrigens bei x = 0.0315 mY+
14.02.2020, 21:57	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die vorgegebene Ableitung stimmt schon. Nach Anwendung der Quotientenregel wurde $\begin{eqnarray} K'(x)=\frac{4x^{-\frac{2}{10} } +0,7x^{-\frac{1}{10} }-0,4x^{-\frac{9}{10} } }{\left(5+x^{\frac{1}{10} } \right)^{2} } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 10x^{\frac{11}{10} } \end{eqnarray}$ erweitert, damit es etwas handlicher aussieht als Deine Version, die aber auch richtig ist.
14.02.2020, 22:02	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, hallo klauss, danke für eure Antworten! Jetzt würde mich aber interessieren, wie mYthos auf das Extremum gekommen ist Viele Grüße und einen schönen Abend.
14.02.2020, 22:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist in diesem Falle besser, auf Dezimalzahlen im Exponenten überzugehen. Dann ist der Zähler $\begin{eqnarray} x^{0.2}(40x^{0.7} + 7x^{0.8} - 4) \end{eqnarray}$ der Nenner $\begin{eqnarray} 10x^{1.1}(5+x^{0.1})^2 \end{eqnarray}$ und somit der ganze Term der Ableitung $\begin{eqnarray} K'(x)=\frac{40x^{0.7} + 7x^{0.8} - 4}{10x^{0.9}(5+x^{0.1})^2} \end{eqnarray}$ Das Extremum folgt mittels Nullsetzen des Zählers. Nach Substitution $\begin{eqnarray} u = x^{0.1} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 7u^8 + 40 u^7 - 4 = 0 \end{eqnarray}$ Darüber lasse nun ein Näherungsverfahren, es gibt 2 reelle Lösungen, eine ist negativ; es kommt nur die positive Lösung in Betracht. u = 0.70777981, schließlich ist $\begin{eqnarray} x = u^{10} = ... \end{eqnarray}$
14.02.2020, 22:45	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführliche Antwort. Grüße

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