Grenzwert der Folge (-2)^n/n^2

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15.02.2020, 17:33	pukka	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Folge (-2)^n/n^2 Hallo zusammen, ich habe mich eben angemeldet, weil ich ein paar Fragen zur folgenden Folge habe, die ich nicht mit der Suchfunktion oder Google klären konnte: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{(-2^{n}) }{n^2} \end{eqnarray}$ Gesucht ist der Grenzwert für n gegen unendlich. Die Folge besteht, soweit ich das beurteilen kann, aus dem Faktor 2^n, dem Faktor (-1)^n und zweimal dem Faktor 1/n. Wenn man diese Faktoren als einzelne Folgen betrachtet, wird hier eine bestimmt divergente/uneigentlich konvergente Folge (2^n) mit einer beschränkten, unbestimmt divergenten Folge ((-1)^n) und zwei Nullfolgen (1/n) multipliziert. Lösungsansätze, von denen ich in diesem Zusammenhang mitbekommen habe, sind, dass man z.B. mittels vollständiger Induktion zeigt, dass das 2^n schneller anwächst als 1/n kleiner wird - bzw. dass man irgendwie auf diese Art und Weise argumentiert - und eine ziemlich komplizierte Abschätzung, die ich aus einem Tutorat kenne, aber leider nicht verstanden habe und wo auch aus Zeitgründen keine Gelegenheit war, nachzufragen. Bei der Abschätzung wurde 2^n mit Hilfe des Binomialkoeffizienten als >= "n über 3" abgeschätzt. Ich wollte mal allgemein in die Runde fragen, wie man den Grenzwert dieser Folge am Besten und (für Neulinge) am Einfachsten bestimmt. Ich hoffe, die Formatierung ist insgesamt akzeptabel. Vielen Dank im Voraus!
15.02.2020, 17:42	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo pukka, wilkommen bei uns. Du bist auf dem richtigen Weg indem du sagst, wir finden hier die Folge $\begin{eqnarray} a_n = (-1)^n\cdot\frac{2^n}{n^2} \end{eqnarray}$ wieder. Ist es notwendig, dass ganze über den Binomialkoeffiziente zu machen? Ich würde ansonsten hier den Induktionsbeweis $\begin{eqnarray} 2^n > n^2 \end{eqnarray}$ für ein geeigntes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ vorschlagen. (Auch aus Zeitgründenb, da ich gerade unterwegs bin Gerne kann aber sonst ein Kollege vielleicht übernhemen wenn du sagst, das ist der Weg, den du nun einschlagen möchtest.) LG Maren
15.02.2020, 17:53	G15ß220	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative: Kürzen mit 2^n 2^n wächst schneller als n^2. Man kann den Grenzwert ablesen.
15.02.2020, 18:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine Alternative, da diese Behauptung zunächst präzise zu formulieren und dann zu beweisen wäre. Genau das war aber der Vorschlag oben. Wenn man 2^n und n^2 vergleichen möchte, eignet sich übrigens noch besser eine Abschätzung der Art 2^n > n^3.
15.02.2020, 23:12	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutzt man Binomi, um Exponentialfunktionen abzuschätzen, geht das fast immer gleich - der Trick ist, dass die Binomialkoeffs selbst Polynome sind, sodass man mit ihnen gut andere Polynome abschätzen kann: $\begin{eqnarray} <br /> n\in\mathbb{N}_0,\quad k\in\{0;\ldots;n\}:\qquad\binom{n}{k}=\frac{n\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k!}\:\text{ist ein Polynom in $n$ mit dem Grad $k$}<br /> \end{eqnarray}$ Dann schreibt man die Exponentialfunktion mit der Binomischen Formel um, und lässt oft alle bis auf einen Koeff weg, der normalerweise einen höheren Grad als das Polynom hat, das man abschätzen will, z.B.: $\begin{eqnarray} <br /> 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^k\cdot1^{n-k}\geq\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},\qquad n\geq 2<br /> \end{eqnarray}$ Für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wächst die Exponentialfunktion in diesem Besipiel (mind.) so schnell wie ein Polynom 2. Grades! Passe die Abschätzung mit einem anderen Koeff an die Aufgabe an (siehe Hinweis), dann klappt das mit der Abschätzung - ganz ohne Induktion in einer Zeile!
16.02.2020, 10:03	pukka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Mühen und das Willkommenheißen! Ihr habt mir weitergeholfen. Den Beweis mit dem Binomialkoeffizienten muss ich mir mal in Ruhe anschauen.
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16.02.2020, 14:18	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
@pukka Klingt super! Keine Sorge, falls das Verständnis mit den Binomis etwas dauert - habe die Abschätzung mit den Binomis zuerst auch immer für "black magic" (aka völlig unintuitiv) gehalten, bis mir der Zusammenhang "Binomialkoeffizienten sind Polynome" klar war. Dann wird das Abschätzen plötzlich systematisch und oft deutlich schneller als andere Beweistechniken! Diesen Zusammenhang muss man sich am Besten einmal selbst aufschreiben, damit mans wirklich sieht.
16.02.2020, 14:34	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man die Folge 2^n/n² auch als Funktion auffassen und l'Hospital anwenden.
16.02.2020, 17:15	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dieser Folge geht das noch - aber bei Kandidaten wie $\begin{eqnarray} a_n=n^{317}2^{-n}\sin(n) \end{eqnarray}$ macht die l'Hospital-Methode keinen Spaß mehr. Außerdem muss man die Funktion sauber definieren und zwischen dem Grenzwert von Folge und Funktion unterscheiden. Da kommt einiges an Schreibaufwand dazu. Die l'Hospital-Methode ist eine Alternative, aber man muss selbst wissen, ob einem der Zusatzaufwand durch die Funktion wirklich wert ist.

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