Teiler in Z[i]

15.02.2020, 18:38

Algebra1502

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Teiler in Z[i]

Meine Frage:
Wie viele Teiler hat 13+13i in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich habe es mit der Norm probiert. (a+bi) ist Teiler von 13+13i in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass N(a+bi) ein Teiler von N(13+13i) ist. N(13+13i)= 338. Aber irgendwie komme ich jetzt nicht weiter. Wie kann ich nun die Anzahl der Teiler 13+13i in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [i] \end{eqnarray*}$ ?

15.02.2020, 19:32

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 13+13i=13(1+i) \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir schon mal die Teiler $\begin{eqnarray*} \pm 1,\pm 13,\pm (1+i),\pm (13+13i) \end{eqnarray*}$ .
Wenn du mit der Norm arbeiten möchtest, musst du nur noch alle $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\in\{1,2,13,26,169,338\} \end{eqnarray*}$ testen.
Hinweis: es gibt noch 16 weitere Teiler (wenn ich mich nicht verzählt habe).

15.02.2020, 20:07

Algebra1502

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Danke erstmal für deine Antwort. -1-i und -13-13i sind auch Teiler?

15.02.2020, 21:41

Elvis

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Ja. $\begin{eqnarray*} ab=c\Rightarrow (-a) (-b) =c \end{eqnarray*}$
Da fällt mir noch auf, dass dann auch $\begin{eqnarray*} (ia)(-ib) =c \end{eqnarray*}$ gilt.

16.02.2020, 09:54

Leopold

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$\begin{align*} R = \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align*}$ ist ein faktorieller Ring, das heißt, es gilt in ihm der Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit in Primelemente. Die Einheiten sind $\begin{align*} \pm 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \pm \operatorname{i} \end{align*}$ . Unter der Norm von $\begin{align*} \alpha = a + \operatorname{i}b \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b \in \mathbb{Z} \end{align*}$ versteht man $\begin{align*} N(\alpha) = a^2 + b^2 \end{align*}$ . Sie ist multiplikativ.

Zunächst gilt

$\begin{align*} \gamma = 13 + 13 \operatorname{i} = 13 \cdot \underbrace{\left( 1 + \operatorname{i} \right)}_{\pi} \end{align*}$

Da $\begin{align*} N(\pi) = 2 \end{align*}$ ein Primelement in $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ ist, ist $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ein Primelement in $\begin{align*} R \end{align*}$ . Wegen $\begin{align*} N(13) = 169 = 13 \cdot 13 \end{align*}$ muß ein nichttrivialer Teiler von 13 die Norm 13 besitzen. In der Tat ist 13 die Summe zweier Quadrate: $\begin{align*} 13 = 2^2 + 3^2 \end{align*}$ , womit man

$\begin{align*} 13 = \underbrace{\left( 2 + 3 \operatorname{i} \right)}_{\varrho} \cdot \underbrace{\left( 2 - 3 \operatorname{i} \right)}_{\sigma} \end{align*}$

erhält. Wegen $\begin{align*} N(\varrho) = N(\sigma) = 13 \end{align*}$ sind $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ Primelemente von $\begin{align*} R \end{align*}$ . Ihr Quotient ist keine Einheit, daher sind $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ nicht assoziiert. Folglich besteht in $\begin{align*} R \end{align*}$ die Zerlegung

$\begin{align*} \gamma = \pi \varrho \sigma \end{align*}$

in nicht-assoziierte Primelemente $\begin{align*} \pi, \varrho, \sigma \end{align*}$ . Jetzt ist es nur noch eine kombinatorische Überlegung, daraus und aus der Zahl der Einheiten die Anzahl der Teiler von $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ zu bestimmen.

16.02.2020, 15:07

Algebra1502

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Vielen Dank erstmal für eure ausführlichen Antworten. Ich tu mich noch etwas schwer mit solchen Aufgaben, weil ich das Gefühl habe irgendwas zu vergessen.

Erstmal folgt 13+13i = 13(1+i). Daran kann ich folgende Teiler ablesen: 1,-1,i,-1,13,-13,(-1+i),(-1-i),(1-i),(1+i),(13+i),(13-i),(-13+i),(-13-i).

Dann haben wir noch die Teiler: (2+3i),(2-3i), (-2+3i) und (-2-3i)

Weiterhin haben wir (3+2i),(3-2i),(-3-2i),(-3+2i)

Ebenso sind (-1+5i), (1+5i), (-1-5i), (1-5i), (5+i),(5-i),(-5+i) und (-5-i) Teiler.

Stimmt das so?

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16.02.2020, 16:18

Leopold

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Bis auf Einheiten sind die Teiler von $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ von der Gestalt $\begin{align*} \pi^k \varrho^l \sigma^m \end{align*}$ mit $\begin{align*} k,l,m \in \{0,1\} \end{align*}$ . Für $\begin{align*} k,l,m \end{align*}$ gibt es also jeweils zwei Möglichkeiten: $\begin{align*} 2^3 = 8 \end{align*}$ Möglichkeiten. Jetzt noch die 4 Einheiten berücksichtigen: $\begin{align*} 8 \cdot 4 = 32 \end{align*}$ Möglichkeiten. Bei dir zähle ich 30 Elemente. Da fehlen also noch 2. Wenn du systematisch vorgehst, siehst du auch welche.

16.02.2020, 17:13

Algebra1502

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13i und -13i fehlen?

16.02.2020, 17:16

Algebra1502

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Gibt es eine Art Algorithmus, wie ich schnell die Anzahl der Teiler herausfinden kann?

16.02.2020, 17:19

Leopold

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Das habe ich doch schon beschrieben: $\begin{align*} \left( 2 \cdot 2 \cdot 2 \right) \cdot 4 \end{align*}$ , ausgehend von der Zerlegung in Primelemente.

16.02.2020, 17:27

Nils Hoppenstedt

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Zitat:

Ebenso sind (-1+5i), (1+5i), (-1-5i), (1-5i), (5+i),(5-i),(-5+i) und (-5-i) Teiler.

Sicher?

16.02.2020, 17:32

Leopold

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Zum Beispiel: $\begin{align*} \left( 2 - 3 \operatorname{i} \right) \cdot \left( -1 + 5 \operatorname{i} \right) = 13 + 13 \operatorname{i} \end{align*}$

16.02.2020, 17:39

Nils Hoppenstedt

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Ach ja, stimmt!

16.02.2020, 17:40

Elvis

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Und hier sind die Teiler von 13+13i zum anfassen. rot = Einheiten. blau = Teiler . schwarz = zu blau konjugierte Teiler. Macht 8*4=32.

16.02.2020, 17:54

Algebra1502

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Danke.

smile

Ein anderes Beispiel: 3-3i hat beispielsweise 12 Teiler in Z[i]?

16.02.2020, 17:55

Elvis

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Das kannst du jetzt bestimmt selbst. Mach mal.

16.02.2020, 18:15

Algebra1502

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Also wenn ich jetzt nicht wieder irgendwas vergessen habe, dann sind es 16 Teiler.

3-3i = 3(1-i). Somit erhalten wir schon mal folgende Teiler: 1,-1,-i,i,3,-3,3i,-3i, (1-i),(1+i),(-1-i),(-1+i),(3+3i),(3-3i),(-3-3i),(-3+3i)

N(1-i)=2 ist ein Primelement

N(3)=18, d.h. es gibt einen nicht trivialen Teiler von 18 mit der Norm 18. 18 können wir als Summe von 2 Quadraten schreiben, womit wir dann wieder die Teiler 3+i, 3-1, -3-i und -3+i erhalten

16.02.2020, 18:28

Leopold

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Wieso schreibst du erst, es gebe 16 Teiler, schreibst die auch noch hin, um hinterher noch vier weitere Teiler anzugeben? Also 20 Teiler?

Ich mache das wieder über die Faktorzerlegung:

$\begin{align*} 3 - 3 \operatorname{i} = 3 \cdot \left( 1 - \operatorname{i} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} N(3) = 9 \end{align*}$ (nicht 18), ein nichttrivialer Teiler von 3 müßte daher die Norm 3 besitzen. Elemente mit Norm 3 gibt es aber nicht, da 3 sich nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellen läßt. Somit ist $\begin{align*} \pi = 3 \end{align*}$ ein Primelement. Wegen $\begin{align*} N(1 - \operatorname{i}) = 2 \end{align*}$ ist auch $\begin{align*} \varrho= 1 - \operatorname{i} \end{align*}$ ein Primelement:

$\begin{align*} 3 - 3 \operatorname{i} = \pi \varrho \end{align*}$

Somit gibt es $\begin{align*} (2 \cdot 2) \cdot 4 = 16 \end{align*}$ Teiler.

16.02.2020, 18:48

Algebra1502

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Ja, die N(3)=9. Da habe ich wohl einmal zu viel quadriert.
Bei den letzten 4 Teilern habe ich mich verschrieben. Da meinte ich eigentlich 3+3i,...
Danke für deine Hilfe

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