Basiswechsel bei Abbildungen

15.02.2020, 22:01

MeineFrage1234

Basiswechsel bei Abbildungen

Meine Frage:
Hallo!

Ich schreibe nächste Woche meine Klausur in Linearer Algebra und rechne gerade einige Übungsaufgaben durch. Dabei kam ich beim Basiswechsel an und finde keine Lösungen zu den Aufgaben. Bei vielem von dem, was ich tue, bin ich mir gerade recht sicher, aber die folgende Aufgabe macht mir zu schaffen. Ich weiß nicht, ob ich das richtig angehe.

"Betrachten Sie die Abbildung

$\begin{eqnarray*} <br /> F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 , x \mapsto Ax \quad mit \quad A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}_ \epsilon \end{eqnarray*}$

Stellen Sie die Abbildung in den Basen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar.

Wenden Sie die Abbildung $\begin{eqnarray*} F_A \end{eqnarray*}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ und drücken Sie das Ergebnis in den drei Basen $\begin{eqnarray*} \epsilon , A, B \end{eqnarray*}$ aus.

Meine Ideen:
Die Abbildung in der Basis A ist meiner Meinung nach

$\begin{eqnarray*} F_A: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 , x_A \mapsto A_Ax_A \quad mit \quad A_A= \phi^{-1}_A \cdot A_{\epsilon} \cdot \phi_A \quad und \quad x_A= \phi^{-1}_A x \end{eqnarray*}$

Und das ganze analog in B. Stimmt das erstmal? Wird da zunächst nur gefragt, wie ich die einzelnen Objekte transformiere?

Sollte das so richtig sein, dann würde ich für den zweiten Teil der Aufgabenstellung so weitermachen:

Ich habe aus einer früheren Aufgabe den Vektor $\begin{eqnarray*} p=\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 6\end{pmatrix}_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ , den ich über $\begin{eqnarray*} p_A= \phi^{-1}_A \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 6\end{pmatrix}_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ transformiere. Dann nehme ich mir meine neue Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A_A \end{eqnarray*}$ und multipliziere die mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} p_A \end{eqnarray*}$ ?

Das Ergebnis davon müsste dann ja schon in A ausgedrückt sein, dann transformiere ich das dann zurück in die kanonische Basis und von da aus ganz normal zu B? Oder verstehe ich das falsch?

Wäre super, wenn mir da einer weiterhilft. Basiswechsel finde ich ohnehin schwierig, aber die Sache mit der Abbildung verwirrt mich gerade wirklich.

Danke schonmal!

19.02.2020, 08:17

klarsoweit

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RE: Basiswechsel bei Abbildungen

Zitat:

Original von MeineFrage1234
Stellen Sie die Abbildung in den Basen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar.

Und wie sehen diese beiden Basen aus?

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Basiswechsel bei Abbildungen

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