Beweis Quadrat im Kreis

16.02.2020, 04:53

Hendrik73

Beweis Quadrat im Kreis

Meine Frage:
Wie kann man beiweisen, dass das flächenmäßig größte Quadrat, das in einem Kreis eingeschrieben werden kann, den Durchmesser als Diagonale hat?

Meine Ideen:
.

16.02.2020, 08:27

willyengland

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Es gibt nur eins.
Du meinst vermutlich Rechteck?

Ansatz:
Der Radius sei r.
ß sei der Winkel, den der Radius mit einer Seite des Rechtecks einschließt.
Dann sind die Seiten:
a = 2 r sinß und b = 2 r cosß

Die Fläche ist dann:
A = 4 r^2 sinß cosß = 2r^2 sin2ß

Finde das Maximum.

16.02.2020, 09:54

Finn_

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Sei der Kreis ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Einheitskreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Das Quadrat sei mit seiner ersten Ecke im Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eingeheftet, der durch einen Ortsvektor
$\begin{eqnarray*} p = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
beschrieben wird. Die anderen Eckpunkte ergeben sich durch die zwei Verschiebungsvektoren $\begin{eqnarray*} \mathbf a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbf b \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+\mathbf b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a+\mathbf b \end{eqnarray*}$ .

Es gilt
$\begin{eqnarray*} \mathbf b = R(\tfrac{\pi}{2})\cdot\mathbf a = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_x \\ a_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a_y \\ a_x\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Punkte müssen im Kreis liegen, also die Kriterien
$\begin{eqnarray*} |p|\le 1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a|\le 1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf b|\le 1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a+\mathbf b|\le 1 \end{eqnarray*}$
erfüllen. Gesucht ist das Viereck mit maximalem Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A=|\mathbf a|^2 \end{eqnarray*}$ bzw. maximaler Kantenlänge $\begin{eqnarray*} |\mathbf a| \end{eqnarray*}$ .

Ein wenig Hand waving: Ein beliebiges hinreichend kleines Quadrat im Kreis lässt sich so verschieben, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis liegen. Nun lässt sich $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a \end{eqnarray*}$ auf dem Kreis verschieben, bis ein weiterer Punkt auf dem Kreis liegt. Man erhält so das Quadrat mit maximalem Flächeninhalt.

Das heißt, $\begin{eqnarray*} |p|=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a|=1 \end{eqnarray*}$ und ( $\begin{eqnarray*} |p+\mathbf b|=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a+\mathbf b|=1 \end{eqnarray*}$ ).

Man bekommt nun
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a|^2 = |p|^2+2\langle p,\mathbf a\rangle+|\mathbf a|^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies 1 = 1+2\langle p,\mathbf a\rangle+A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies 2\langle p,\mathbf a\rangle = -A. \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt aufgrund der Orthogonalität $\begin{eqnarray*} \mathbf a\perp\mathbf b \end{eqnarray*}$ auch
$\begin{eqnarray*} |\mathbf a+\mathbf b|^2 = |\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2 = 2|\mathbf a|^2 = 2A. \end{eqnarray*}$

Weiterhin gilt
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf b|^2 = 1+2\langle p,\mathbf b\rangle+A \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} |p+\mathbf a+\mathbf b|^2 = |p|^2+2\langle p,\mathbf a\rangle+2\langle p,\mathbf b\rangle+|\mathbf a+\mathbf b|^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1-A+2\langle p,\mathbf b\rangle + 2A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1+2\langle p,\mathbf b\rangle +A. \end{eqnarray*}$

Das ergibt $\begin{eqnarray*} |p+\mathbf b| = |p+\mathbf a+\mathbf b| \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a+\mathbf b \end{eqnarray*}$ auf einem Durchmesser gegenüber $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ liegt. Da der Durchmesser durch den Mittelpunkt=Koordinatenursprung geht, muss dafür nur $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kollinear zu $\begin{eqnarray*} p+\mathbf a+\mathbf b \end{eqnarray*}$ sein. Das ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass das äußere Produkt verschwindet:
$\begin{eqnarray*} p\wedge (p+\mathbf a+\mathbf b) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \underbrace {p\wedge p}_{=0}+p\wedge\mathbf a+p\wedge\mathbf b = 0. \end{eqnarray*}$
Das bringt die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}x & a_x\\ y & a_y\end{vmatrix}\mathbf e_x\wedge\mathbf e_y + \begin{vmatrix}x & b_x\\ y & b_y\end{vmatrix}\mathbf e_x\wedge\mathbf e_y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \begin{vmatrix}x & a_x\\ y & a_y\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}x & b_x\\ y & b_y\end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \begin{vmatrix}x & b_y\\ y & -b_x\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}x & -a_y\\ y & a_x\end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff -\langle p,\mathbf b\rangle + \langle p,\mathbf a\rangle = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff -(-A/2)+(-A/2) = 0. \end{eqnarray*}$

16.02.2020, 10:06

Leopold

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Warum ziehst du nicht gleich die Maxwellschen Gleichungen zur Lösung heran? Oder anders gefragt: Was machst du da überhaupt? Wie kann man auf eine unklar gestellte Aufgabe aus der Schulmathematik (Hinweis: das ist der Bereich der Mathematik, wo man mit Zählern und Nennern von Zahlenbrüchen kämpft, oft vergeblich) nur so antworten? Irgendwie fehlt mir da das Verständnis dafür.

16.02.2020, 11:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Beweis Quadrat im Kreis

Zitat:

Original von Hendrik73
Meine Frage:
Wie kann man beiweisen, dass das flächenmäßig größte Quadrat, das in einem Kreis eingeschrieben werden kann, den Durchmesser als Diagonale hat?

Das flächenmäßig größte Rechteck, das in einem Kreis einbeschrieben ist ist immer das Quadrat. Nicht nur dieses Quadrat, sondern auch alle einbeschriebenen Rechtecke haben als Diagonale den Durchmesser.
[attach]50632[/attach]

16.02.2020, 11:55

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Warum ziehst du nicht gleich die Maxwellschen Gleichungen zur Lösung heran? Oder anders gefragt: Was machst du da überhaupt? Wie kann man auf eine unklar gestellte Aufgabe aus der Schulmathematik (Hinweis: das ist der Bereich der Mathematik, wo man mit Zählern und Nennern von Zahlenbrüchen kämpft, oft vergeblich) nur so antworten? Irgendwie fehlt mir da das Verständnis dafür.

du sprichst mir aus dem Herzen Gott

gibt es denn ein anderes Quadrat, das man einem Kreis einschreiben kann?

16.02.2020, 11:57

bleistift20

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Reicht es für die Aufgabe nicht einfach aus zu beweisen, dass die längste Sehne in einem Kreis der Durchmesser ist ? verwirrt

16.02.2020, 12:10

Finn_

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Für ein Rechteck mit Ecken auf einem Kreis ist die Aufgabe ganz einfach. Die Diagonale des Rechtecks teilt dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke auf. Für das Dreieck gilt die Umkehrung des Satzes des Thales, d.h. der Mittelpunkt des Kreises liegt in der Mitte der Diagonale.

16.02.2020, 13:19

Leopold

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Zitat:

Original von riwe
gibt es denn ein anderes Quadrat, das man einem Kreis einschreiben kann?

Nein. Insofern ist diese Aufgabe sinnlos gestellt. Ich vermute, daß bei Hendrik73 die Gleichsetzung

Viereck = Rechteck = Quadrat

gilt und so eine sinnvolle Aufgabenstellung zu einer unsinnigen deformiert wurde. Ist natürlich nur eine Vermutung. Insofern wäre abzuwarten, ob Hendrik73 das Ganze noch richtigstellen wird. Nur zeigt die Erfahrung, daß wir da wohl lange warten können.

16.02.2020, 15:04

Henrik73

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Entschuldigung, ich habe mich vielleicht etwas unklar ausgedrückt. Die Eckpunkte der Quadrate müssen nicht unbedingt den Kreis berühren. Insofern gibt es unendlich viele Quadrate die "im" Kreis liegen. Meine Frage war dann warum das Quadrat, das die Eckpunkte des Kreises berührt und den Durchmesser als Diagonale hat, den größten Flächeninhalt hat.

16.02.2020, 17:53

Elvis

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Diese Frage ist so einfach, dass sogar ich sie beantworten kann. Augenzwinkern

Das größte Quadrat im Kreis hat die größte Diagonale unter allen Quadraten im Kreis. Eine größere Diagonale als der Kreisdurchmesser passt nicht in den Kreis, weil Diagonale und Kreisdurchmesser Strecken im Kreis sind.

16.02.2020, 20:07

klauss

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RE: Beweis Quadrat im Kreis
Henrik73:
Du hast eigentlich 2 Fragen/Aufgaben gestellt. Ausgehend von den Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ : flächenmäßig größtes Quadrat in einem Kreis
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Kreisdurchmesser ist Quadratdiagonale
wolltest Du zuerst einen Beweis für $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ .
Dann hast Du umformuliert, so dass nun ein Beweis für $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ gesucht war.

Hierzu folgende Variante (s. Bild):
Vom Kreismittelpunkt aus kann ich ein Quadrat zunächst nur in den 1. Quadranten "aufblasen", mit der Breite $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Das geht so lange, bis eine Ecke auf den Kreisbogen trifft, dann gilt für das größte Quadrat
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{r^{2} -x^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2}=r^{2} -x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^{2}=r^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{r}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Dieses Quadrat kann ich nun in den 2. - 4. Quadranten spiegeln, dann ist das das größte, das in den Kreis paßt, weil es in keine Richtung mehr vergrößert werden kann, und es hat die Seitenlänge $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ .
Die Länge der Diagonale ist
$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{\left(2x\right)^{2}+\left(2x\right)^{2} }=\sqrt{8x^{2} } =\sqrt{8\frac{r^{2} }{2} } =2r \end{eqnarray*}$

Das wäre vielleicht eine schülerfreundlichere Rechenvariante für Deine Eingangsfrage.
Für den Umkehrschluß kannst Du bereits auf Elvis' Beitrag zurückgreifen.

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