Ringisomorphismus

16.02.2020, 15:19	Bonney	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus Meine Frage: Hallo Mir wurde hier das letzte Mal gut geholfen. Nun brauche ich wieder dringend Hilfe. Und zwar soll ich Ringisomorphismen konstruieren: a) $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]/\langle X^2+1\rangle \cong \mathbb C \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]/\langle X^4-1\rangle \cong \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb C \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hoffe, ich gehe geschickt vor durch Nutzung des Homomorphisatzes für Ringe . Denn da taucht ein Isomorphismus auf und wenn ich jeweils die Nullstellen des Polynoms aus $\begin{eqnarray} \langle X^2+1\rangle \end{eqnarray}$ bzw. aus $\begin{eqnarray} \langle X^4-1\rangle \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ einsetze, habe ich direkt den Kern $\begin{eqnarray} \mathrm{ker}\,\phi \end{eqnarray}$ : [attach]50633[/attach] a) Die Nullstellen von $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \pm \mathrm{i} \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} \phi:\ \mathbb R[X]\to \mathbb C,\ P(X)\mapsto P(\mathrm{i}) \end{eqnarray}$ , denn hierbei ist günstigerweise $\begin{eqnarray} \mathrm{ker}\,\phi = \langle X^2+1\rangle \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \phi (X^2+1) =\mathrm{i}^2+1=0 \end{eqnarray}$ und das gilt auch für alle Polynomvielfachen von $\begin{eqnarray} X^2+1 \end{eqnarray}$ . Sprich genau ganz $\begin{eqnarray} \langle X^2+1\rangle \end{eqnarray}$ wird von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auf Null abgebildet. $\begin{eqnarray} \stackrel{\mathrm{Homsatz}}\Rightarrow R[X]/\langle X^2+1\rangle \cong \mathrm{im}\, \phi \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{im}\, \phi=\mathbb C \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ surjektiv ist, oder? Wie mache ich das am geschicktesten (am besten so, dass es in der b) analog funktioniert)?
16.02.2020, 17:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das nicht offensichtlich wegen $\begin{eqnarray} X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1) \end{eqnarray}$ .
16.02.2020, 20:24	Bonneyh	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität meinst du? (Bin gerade unterwegs und weiß mein Passwort nicht auswendig, deshalb dieser unangemeldete Post)
16.02.2020, 21:37	Bonney	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin wieder da. Tut mir Leid Elvis, das hat mir noch nicht weitergeholfen
16.02.2020, 21:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Isomorphismus steht auf Wikipedia, genau an der Stelle, die du angegeben hast. (a) wissen wir schon. Siehe 10./11.02.2020 (b) siehe meinen Hinweis und Wiki Die Konstruktion ist mittels chin. Restsatz ganz leicht, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]/(X^2+1)\cong \mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]/(X+1)\cong\mathbb R[X]/(X-1)\cong\mathbb R \end{eqnarray}$ ist, und das habe ich dir in meinem Beitrag über Adjunktion gezeigt.

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