Konvergente rekursive Folge und Grenzwertsätze

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Sadrach Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente rekursive Folge und Grenzwertsätze
Meine Frage:
Gegeben ist die Folge





von der bereits bekannt ist, dass sie konvergiert. Daher gelten die Grenzwertsätze.

Zu bestimmen ist der Grenzwert g.

Meine Ideen:
Es gilt


weil hier dann natürlich auch konvergiert. Das löst sich dann auf zu:



mit zwei Lösungen, obwohl es natürlich nur einen Grenzwert gibt.

Nun meine Frage: Woher kommt die zweite Lösung?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du wirklich erwartet, dass alle Folgen mit dieser oder ähnlicher Rekursionsvorschrift denselben Grentwert haben?
Du hast schließlich nur ein notwendiges Kriterium herangezogen. Erst durch weitere Betrachtungen stellt sich heraus, ob die Folge konvergiert und gegen welchen der berechneten Werte.

Einfaches Beispiel: konvergiert gegen . Das notwendige Kriterium für den Grenzwert g liefert g=g, was für jede reelle Zahl erfüllt ist. Erst durch Berücksichtigung von dem Startwert ist der Grenzwert eindeutig.
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergente rekursive Folge und Grenzwertsätze
Zitat:
Original von Sadrach
Zu bestimmen ist der Grenzwert g.
Nun meine Frage: Woher kommt die zweite Lösung?

Nun wie sich zeigt, ist der eine Grenzwert 0.302775637731995 in einem stabilen Gleichgewicht und der andere Grenzwert -3.302775637731995 in einem labilen Gleichgewicht.
CrazyL Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Lösungen "entstehen" bei dem Schritt, wenn die linke und die rechte Seite gleichgesetzt werden:


Die rechte Seite kann man als Funktion interpretieren. Beim Gleichsetzen sucht man alle Schnittpunkte zwischen und der Winkelhalbierenden - es hängt von der Funktion ab, wieviele Schnittpunkte es gibt!

So sieht das ganze aus:
[attach]50640[/attach]

Es gibt zwei Schnittpunkte zwischen und der Winkelhalbierenden, die als Kandidaten für den Grenzwert in Frage kommen (rot) - einen positiven und einen negativen. Die Folge beginnt bei -0.5 (Start der Spirale) und konvergiert gegen den positiven Schnittpunkt (Zentrum der Spirale).
Sadrach Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt! Vielen Dank für die hilfreichen Hinweise. Jetzt habe ich es verstanden, denke ich:

Da die Betrachtung den Rekursionsanfang nicht berücksichtig, ist der Schluss nur notwendig und nicht hinreichend. Der labile Grenzwert wird entsprechend bei der Folge mit erreicht und andernfalls der Grenzwert für alle .
CrazyL Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt gut - nur bei der Aussage "und andernfalls ist der Grenzwert g1" wäre ich vorsichtig.

In einer kleinen Umgebung von g1 ist das auf jeden Fall richtig (das liegt an der Stabilität, auch wenn die noch nicht bewiesen wurde, und wir nicht wisssen, wie "groß" so eine kleine Umgebung sein darf). Aber wir haben nicht untersucht, ob es Startpunkte gibt, bei denen die Folge divergiert (z.B. gegen ).

Tip: Nimm einen negativen Startpunkt (nur nicht gerade den zweiten Fixpunkt) und überlege, wie die Iterationsspirale dann aussieht. Wohin "wander" die Folge? Das wird ganz anders aussehen als beim Startpunkt -0.5!
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sadrach
Der labile Grenzwert wird entsprechend bei der Folge mit erreicht und andernfalls der Grenzwert für alle .

So sehe ich das auch. Jedoch habe ich nicht den Ehrgeiz entwickelt, das auch zu beweisen.[attach]50644[/attach]
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