Untervektorräume

17.02.2020, 12:03

MasterWizz

Untervektorräume

Hey Leute, ich hoffe es geht euch gut! Wink

Ich habe Verständnisfragen zum Thema "Untervektorräume". Ich nenne im Folgenden Aussagen, die ich für wahr halte und ziehe daraus Schlüsse. Bitte helft mir zu bestätigen, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Wenn etwas falsch ist, würde ich mich sehr über ein kurzes Gegenbeispiel freuen.

(1) Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ ist Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn sie nicht leer und abgeschlossen bzgl. der Addition und (skalaren) Multiplikation ist.
(2) Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und (skalaren) Multiplikation bedeutet $\begin{eqnarray*} u,v\in U\Rightarrow (\alpha u +\beta v)\in U \end{eqnarray*}$
(3) Jede Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , die durch lineare Abbildungen beschrieben wird, also $\begin{eqnarray*} U=\left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n:\ f(\vec{x})=A\vec{x}=0\right\} \end{eqnarray*}$ , ist ein Untervektorraum (dieser Untervektorraum heißt "Kern").
(?4?) Jeder Untervektorraum lässt sich durch lineare Abbildungen beschreiben, oder speziell: Jeder Untervektorraum ist Kern einer linearen Abbildung. (Bin ich mir unsicher, bitte hier besonders um Hilfe!)
(5) Alle (wahren) Aussagen hier sind äquivalent.

Vielen Dank für eure Hilfe! smile

17.02.2020, 12:52

Elvis

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(2) Muss für alle $\begin{eqnarray*} u,v\in U \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in K \end{eqnarray*}$ gelten, wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist.
(3) $\begin{eqnarray*} U=\{x\in V:f(x)=0\} \end{eqnarray*}$ für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$
(4) Stimmt, nimm eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und bilde sie auf $\begin{eqnarray*} 0\in V \end{eqnarray*}$ ab, ergänze die Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , fixiere die ergänzten Basisvektoren, und fertig ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to V \end{eqnarray*}$ mit Kern $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

(1) bis (4) ist alles wahr. Welche Aussagen äquivalent sind, weiß ich nicht. Das kommt auf die genaue Formulierung an. Es ist m.E. nicht sinnvoll zu sagen, dass die Aussagen "Jeder Kern ist UVR" und "Jeder UVR ist Kern" äquivalent sind. Beide sind richtig, aber sie sie folgen nicht logisch aus einander. Man kann nicht sagen "Weil jeder Kern ein UVR ist, ist jeder UVR ein Kern" und umgekehrt.

17.02.2020, 13:40

MasterWizz

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Vielen Dank für deine Hilfe, Elvis! Du bist der King! smile

Hatte erst die Befürchtung, dass auch Nicht-Lineare Abbildungen einen Untervektorraum beschreiben können. Aber die "Linearität" steckt ja bereits in der "Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und der (skalaren) Multiplikation (über der Menge K)" mit drin. Ich hab jetzt also gelernt: Eine Menge U, die durch Nicht-Lineare Abbildungen beschrieben wird, kann kein UVR sein.

17.02.2020, 13:54

Helferlein

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Vorsicht, Master. Wie ist es mit $\begin{eqnarray*} M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|x^2+y^2=0\} \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2020, 14:17

Elvis

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"Lässt sich durch lineare Abbildung beschreiben" heißt nicht "kann nur durch lineare Abbildung beschrieben werden".

17.02.2020, 14:35

MasterWizz

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Ahhh ok verstehe. Das ist clever. Danke noch mal für eure schnellen Antworten. Wäre ebenfalls ein Gegenbeispiel zu dem, was ich gesagt habe, "ein Vektorraum aller Polynome vom Grad n"? Ist ja allgemein auch nicht linear. Oder verrenne ich mich da grad? Das eigentliche Problem ist aber gelöst, dafür bin ich sehr dankbar Gott

17.02.2020, 14:43

Elvis

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Sei K ein Körper, dann sind die Polynome vom Grad kleiner oder gleich n mit Koeffizienten in K ein K-Vektorraum der Dimension n+1. Die Polynome vom Grad n sind kein Vektorraum, denn da fehlt das Nullpolynom als Nullvektor.

17.02.2020, 16:38

MasterWizz

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Auf Wikipedia habe ich grad unter "Allgemeinere Beispiele" Folgendes gefunden:
"Im Vektorraum der reellen Funktionen über einem Intervall bilden die integrierbaren Funktionen, die stetigen Funktionen und die differenzierbaren Funktionen jeweils Untervektorräume." Nur zum Verständnis: Unsere Ausführungen bzgl. linearen Abbildungen kann nur deshalb nicht angewendet werden, weil sich der betrachtete Körper K hier nicht auf die Menge der reellen Zahlen bezieht, sondern auf die Menge der reellen Funktionen?

17.02.2020, 18:27

Elvis

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Die Mengen von Funktionen sind reelle Vektorräume, also Vektorräume über $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Prominente Beispiele für lineare Selbstabbildungen sind Differentiation für differenzierbare Funktionen und Integration für integrierbare Funktionen. Die Linearität drückt sich in den sattsam bekannten Formeln aus.

$\begin{eqnarray*} \frac {d(\alpha f(x)+\beta g(x))}{dx}=\alpha \frac {df(x)}{dx}+\beta \frac {dg(x)}{dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int (\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha \int f(x) dx+\beta \int g(x) dx \end{eqnarray*}$

Mehr kann man sich von Vektorräumen nicht wünschen, darüber hinaus gelten für die Differentiation noch Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, und über die Integration ließe sich auch noch einiges sagen. Dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch noch diese linearen Operatoren miteinander in Beziehung setzt, ist ein Wunder, für das man allerdings nicht die Vektorräume verantwortlich machen kann.

17.02.2020, 18:38

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Zitat:

Original von MasterWizz
weil sich der betrachtete Körper K hier nicht auf die Menge der reellen Zahlen bezieht, sondern auf die Menge der reellen Funktionen?

Was soll das bedeuten? verwirrt

Die reellen Funktionen bilden doch keinen Körper

Zitat:

Original von MasterWizz
Ich hab jetzt also gelernt: Eine Menge U, die durch Nicht-Lineare Abbildungen beschrieben wird, kann kein UVR sein.

Ein Gegenbeispiel hat Helferlein schon gegeben. Ein anderes für einen nichttrivialen Unterraum ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x(y^2+1) \end{eqnarray*}$

17.02.2020, 20:32

MasterWizz

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Hey Elvis, du hast Recht. An die Linearität des Differential- und Integraloperators hätte ich selbst denken können. Hammer!

Nur, URL, bei deinem Beispiel bin ich ehrlich gesagt noch skeptisch. Wäre echt cool, wenn $\begin{eqnarray*} U=\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3:\ x_3=x_1\cdot(x_2^2+1)\right\} \end{eqnarray*}$ einen linearen Unterraum vom Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden würde z.B. über dem Körper K der reellen Zahlen. Aber ich sehs nicht. Hab es mir aufgeschrieben, aber schon bei der Addition der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{y}=(y_1,y_2,y_3)\in U \end{eqnarray*}$ komme ich nicht auf einen grünen Zweig. Der Vektor $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3) \end{eqnarray*}$ liefert mir nach Einsetzen, Klammern auflösen und Zusammenfassen: $\begin{eqnarray*} 0=2x_1y_2(x_1+y_1)+x_1y_2^2+y_1x_2^2 \end{eqnarray*}$ .

Bitte hilf mir da weiter, würde es sehr begrüßen, wenn ich was übersehe und wir ein nicht lineares (und nicht triviales!!!) Beispiel finden, das trotzdem ein UVR ist.

17.02.2020, 20:57

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Die Frage war doch, ob die Menge $\begin{eqnarray*} \{ x\in\mathbb R ^n : f(x)=0\} \end{eqnarray*}$ auch bei nichtlinearem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Unterraum sein kann. Für $\begin{eqnarray*} n=2, f(x,y)=x(y^2+1) \end{eqnarray*}$ ist das die Menge $\begin{eqnarray*} \{(x,y):x=0\} \end{eqnarray*}$ , also die y-Achse und damit ein Unterraum.

17.02.2020, 21:19

MasterWizz

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Ok ich verstehe. Die y-Achse $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist ein linearer Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und du hast sie geschickt in einer nicht-linearen Funktion eingebaut, um das Beispiel zu konstruieren. Die Menge $\begin{eqnarray*} U=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x\cdot(y^2+1)=0\right\} \end{eqnarray*}$ bildet einen linearen Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ über dem Körper K der reellen Zahlen. WOW. Das ist ziemlich clever von dir. Vielen Dank für eure Hilfe, denke jetzt hab ich genug Input alles noch mal in Ruhe zu durchdenken. Und danke, dass ihr immer so geduldig mit mir seid smile

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