Eigenwerte von Summen von Matrizen

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MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte von Summen von Matrizen
Hallo,

gibt es irgendwelche Abschätzungen / Aussagen dazu, wie die Eigenwerte von aussehen? Inwiefern hängen diese mit Eigenwerten von und zusammen?

Gruß MatheErsti
CrazyL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte von Summen von Matrizen
Einschub: Ich nehme mal an, dass von die Rede ist - beim nächsten Mal besser dazuschreiben, was die Symbole bedeuten, denn es gibt auch unendlich dimensionale Matrizen ^^

Zur Frage: Im Allgemeinen nicht - aber für manche spezielle Matrixpaarungen gibt es Sätze, z.B.
  • Simultane Trafo von A und B (falls A und B kommutieren)
  • Satz von Weyl (falls hermitesch sind - beachte das i !)
  • Cauchy-Interlace Theorem (falls hermitesch sind und eine ON-Projektion von ist - beachte das i !)
  • ... (sicher gibt es noch mehr, die mir gerade nicht einfallen)


Die meisten Abschätzungen zu Eigenwerten von hermiteschen Matrizen, die ich kenne, benutzen den Satz von Courant-Fisher. Hilft das?
 
 
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte von Summen von Matrizen
Vielen Dank für deine Antwort, CrazyL,

es tut mir Leid, da war ich leider sehr ungenau. Tatsächlich sind in meinem Fall . Ferner sind symmetrisch, daher ist leider nicht hermitesch. Ansonsten hätte man über die Eigenwertzerlegung bereits etwas sagen können.

Gruß MatheErsti
CrazyL Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem! Wichtig ist aber nicht, dass hermitesch ist, sondern und jeweils!

P.S.: Die Sätze von Weyl und Cauchy-Interlace benutzen direkt (wenn du danach suchst), deshalb werden die Vorraussetzungen etwas anders aussehen als in der Liste oben. Die Liste ist schon auf angepasst.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.
Tatsächlich habe ich nun ein recht altes Lemma von Bendixson gefunden, das mir geholfen hat.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine offene Frage habe ich doch noch:
Gibt es auch Aussagen in die umgekehrte Richtung?
Angenommen man kennt die Eigenwerte von , kann man dann etwas über die Eigenwerte von oder aussagen?
Hierbei ist als symmetrische Matrix gegeben.

Vielen Dank für eure Hilfe.
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