Unbestimmtes Integral

18.02.2020, 20:06

robbs

Unbestimmtes Integral

Hallo zusammen,

ich versuche mich aktuell in der Integralrechnung und habe da eine Aufgabe ohne Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{e^{ax} }{1 + e^{ax} } \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution: t= $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$

mit meinen (noch) lausigen Vorkenntnissen bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1 }{t } \, dt = ln|t| + C \end{eqnarray*}$

Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{}^{} \! \frac{e^{ax} }{t} \, \cdot \frac{dt}{e^{ax} } = \frac{1}{t}\cdot dt <br /> <br /> \int_{}^{} \! \frac{1}{t}\cdot dt = ln|t| + C \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt ?

Vielen Dank und Grüße,
robbs

18.02.2020, 21:12

seinfeld

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Im Nenner steht nicht t sondern 1+t nach der Substitution.
Mache am Schluss die Substitution wieder rückgängig, denn du möchtest ja am Ende eine Stammfunktion in Abhängigkeit von x.

18.02.2020, 21:15

seinfeld

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Und vergiss nicht die innere Funktion beim Ableiten (Kettenregel).
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ sondern...

19.02.2020, 08:09

klarsoweit

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RE: Unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von robbs
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{e^{ax} }{1 + e^{ax} } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich würde da erstmal eine kleine Umformung machen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{ax} }{1 + e^{ax} } \, dx = \frac 1 a \int \frac{a \cdot e^{ax} }{1 + e^{ax} } \, dx \end{eqnarray*}$

Dann ist es geschickter, die Substitution $\begin{eqnarray*} t = 1 + e^{ax} \end{eqnarray*}$ zu verwenden.
Nebenbei muß noch a ungleich Null vorausgesetzt werden. smile

19.02.2020, 08:12

Ulrich Ruhnau

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RE: Unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von robbs
ich versuche mich aktuell in der Integralrechnung und habe da eine Aufgabe ohne Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{e^{ax} }{1 + e^{ax} } \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution: t= $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$

Versuche doch lieber mit $\begin{eqnarray*} t=1+e^{ax} \end{eqnarray*}$ zu substituieren!

Ableitung: $\begin{eqnarray*} dt=ae^{ax}dx \end{eqnarray*}$

19.02.2020, 15:51

robbs

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Hallo,

Vielen Dank für die Rückmeldungen!

Grüße

19.02.2020, 21:50

robbs

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Hallo zusammen,

ich bin nochmal auf so eine komische Aufgabe gestoßen.
Diesmal ist die Substitution vorgegeben.

$\begin{eqnarray*} u = {e^{ax} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_\! \frac{e^{ax} }{1 + {e^{2ax}}} \, dx \end{eqnarray*}$

Mit dieser "Technik" bin ich bisher relativ weit gekommen, aber hier weiß ich auch nicht weiter..eine Vereinfachung ist das ja nicht verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{u }{1 + {u^{2}}} \, \cdot \frac{1}{u'}dz = \int_\! \frac{e^{ax} }{1 + {u^{2}}} \, \cdot \frac{1}{ae^{ax} }dz = \int_\! \frac{1 }{1 + {u^{2}}} \,\cdot \frac{1}{a }dz \end{eqnarray*}$

ich hab jetzt mal nicht weiter gemacht, da es wahrscheinlich sowieso Klo

ist...

Vielen Dank für eure Unterstützung und Grüße,
robbs

20.02.2020, 08:16

klarsoweit

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Am Ende steht fast das Richtige da, aber ich bügel mal die formalen Schwächen aus:

Aus $\begin{eqnarray*} u = e^{ax} \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} du = a \cdot e^{ax} dx \end{eqnarray*}$

Somit ist: $\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{ax}}{1 + e^{2ax}} \, dx = \frac 1 a \int \frac{1}{1 + (e^{ax})^2} \cdot a \cdot e^{ax}dx = \frac 1 a \int_\! \frac{1}{1 + u^2} ~du \end{eqnarray*}$

Letzteres ist ein Grundintegral und somit relativ leicht zu lösen. smile

20.02.2020, 19:49

robbs

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Hallo klarsoweit,

danke für deine Rückmeldung. Stimmt, ich hatte ganz vergessen auf "du" & "dx" umzustellen Schläfer

Wenn ich das richtig verstehe, hast Du einfach mit "a" (und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ) erweitert. Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie Du auf das "a" kommst. Wegen der Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ ? Musst das aber auch nicht unbedingt erklären, ich werde mich die nächsten Tage noch weiter in die Integralrechnung einarbeiten und komme dann (hoffentlich) selber drauf smile

Den Term habe ich jetzt nochmal nach meinem Verständnis umgestellt und wollte Fragen, ob das formal so passt ?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{u}{1+u^{2} } \, \cdot \frac{1}{u'} du = \int_{}^{} \! \frac{e^{ax} }{1+e^{2ax} } \, \cdot \frac{1}{ae^{ax}} dz =\int_{}^{} \! \frac{1 }{1+u^{2} } \, \cdot \frac{1}{a} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{a}\int_{}^{} \! \frac{1 }{1+u^{2} } \, \ du = arctan(u) = arctan(e^{ax}) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

Grüße und einen schönen Abend,
robbs

20.02.2020, 20:56

robbs

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Korrektur: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} arctan(u) \end{eqnarray*}$

21.02.2020, 08:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von robbs
Wenn ich das richtig verstehe, hast Du einfach mit "a" (und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ) erweitert. Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie Du auf das "a" kommst. Wegen der Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ ?

Im Prinzip ja. Ich möchte einfach, daß in dem Integral "irgendwas * u'(x) dx" steht. Denn bei der Substitution wird dann das "u'(x) dx" durch "du" ersetzt.

Am Schluß muß es dann $\begin{eqnarray*} \frac 1 a arctan(e^{ax}) \end{eqnarray*}$ heißen.

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