Widerlege totale Differenzierbarkeit für g(x,y)

Neue Frage »

physixJoe Auf diesen Beitrag antworten »
Widerlege totale Differenzierbarkeit für g(x,y)
Meine Frage:
Hallo,
zu zeigen ist, dass die Funktion g:R2 -> R mit

in (0,0) nicht total differenzierbar.

Meine Ideen:
Eine Funktion f:Rn -> Rm heißt im Punkt x0 total differenzierbar genau denn wenn es eine Matrix f'(x0) gibt, sodass


Annahme g(x,y) ist total Differenzierbar.
Dann gilt

Betrachte die Folge
Dann gilt:


Eigentlich sollte hier nicht 0 raus kommen, da ich ja zeigen soll dass g nicht total diffbar ist. Was damit ja dann getan wäre. Wo liegt mein Fehler?

Bitte mir anhand meiner Methode erklären was ich falsch mache da es mir auch um allgemeineres Verständnis geht. Eine andere Methode/Herangehensweise hier zu zeigen dass g nicht total differenzierbar ist würde mir nicht viel helfen. Danke smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert auf den Achsen ? Kommt da auch 0 heraus ? Offenbar nicht ! Na also.

Nachtrag. Du hast dich verrechnet. Auf der Diagonalen kommt auch nicht 0 heraus.

Dein methodischer Fehler liegt darin, dass du nicht eine spezielle Folge betrachten darfst, sondern alle Folgen, die gegen (0,0) konvergieren.
physixJoe Auf diesen Beitrag antworten »

Warum? Wenn es für eine Folge in die Hose geht reicht das doch als Widerspruch. Warum sollte ich es also für beliebige zeigen?
Wo genau hab ich mich verrechnet?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mach das doch. Du hast ein Beispiel richtig berechnet und lim=0 heraus bekommen. (Ich hatte einen Rechenfehler gesehen, der nicht existiert.) Das beweist gar nichts.
physixJoe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist mir ja klar dass das offensichtlich falsch berechnet ist. nur finde ich den Fehler nicht ....
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, nicht falsch berechnet. Methodisch falsch. Eine einzige Rechnung genügt nicht.
Du hast eine Richtungsableitung berechnet. Das ist nicht hinreichend für Differenzierbarkeit.
 
 
physixJoe Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... okay und wie könnte man es methodisch richtig angehen?
Ein Versuch mit beliebiger Nullfolge ist ja auch zum scheitern verurteilt dann, da ich ja eine gefunden hab anscheinend für die es klappt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Für x=0, also auf der y-Achse, ist g nicht definiert, also nicht stetig, also nicht differenzierbar.
2. Über der linken und rechten Halbebene liefert g zwei verschiedene Halbebenen, weil x das Vorzeichen wechselt, also nicht differenzierbar auf der y-Achse, also auch nicht im Punkt (0,0).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
1. Für x=0, also auf der y-Achse, ist g nicht definiert, also nicht stetig, also nicht differenzierbar.


Mir scheint hier ein Schreibfehler vorzuliegen, sonst würde man sicher geschrieben haben. Richtig wäre also



Ich würde direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit arbeiten, wie von physixJoe zu Beginn angegeben, und indirekt argumentieren. Wir nehmen also an, daß in differenzierbar wäre. Dann gäbe es , so daß



gälte. Die Definition von verwendend und umgeformt, hieße das:



Insbesondere gälte das, wenn man durch eine Folge , die für gegen konvergiert, spezialisiert.

1. Man nimmt in und erhält, wenn man vereinfacht, , also .

2. Analog nimmt man in und erhält , also .

Letztlich zeigen 1. und 2. die partielle Differenzierbarkeit in nach beziehungsweise . Die partiellen Ableitungen sind jeweils 0.

3. Man nimmt und erhält, gleich mit in , wenn man vereinfacht:

, das heißt

Und das sieht nun wirklich nicht gut aus.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »