Nullstellen bestimmen

19.02.2020, 21:46

Elli.

Nullstellen bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte näherungsweise die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} 2^{x}=2x \end{eqnarray*}$
bestimmen?
Um näherungsweise Nullstellen zu bestimmen kenne ich das Newton-Verfahren und graphische Bestimmen.

Darf ich die Funktion zu $\begin{eqnarray*} 2^{x}-2x=0 \end{eqnarray*}$ einfach umstellen, um sie zu zeichnen?
Und darf ich das Newton-Verfahren hier anwenden?

LG Elli

Meine Ideen:
-

19.02.2020, 22:13

Ulrich Ruhnau

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RE: Nullstellen bestimmen

Zitat:

Original von Elli.
ich möchte näherungsweise die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} 2^{x}=2x \end{eqnarray*}$
bestimmen?

Nun, $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen, $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ hingegen schon. Aber das ist hier gar nicht gefragt. Du möchtest die Lösung dieser Gleichung wissen. Meine Grafik deutet auf zwei Lösungen hin. Am liebsten würde ich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2^x=2x \end{eqnarray*}$ erst einmal durch 2 teilen.

$\begin{eqnarray*} 2^{x-1}=x \end{eqnarray*}$ Und dann kommt der Logarithmus zur Basis 2

$\begin{eqnarray*} x-1=\log_2 x \end{eqnarray*}$

Ab hier lassen sich die beiden Lösungen auch durch Raten finden. Andernfalls wäre das Newtonverfahren angewandt auf die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x-2x \end{eqnarray*}$ nicht schlecht gewesen. Das Newtonverfahren birgt nur das Risiko, daß man einzelne Lösungen übersieht.

20.02.2020, 11:57

Elli.

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RE: Nullstellen bestimmen
Okay, hab es hinbekommen.
Vielen Dank für die Hilfe smile

Noch eine Frage zum Newton-Verfahren.
Ich habe damit jetzt Nullstellen von mehreren Funktionen berechnet.
In einigen Fällen, wenn die Nullstellen sehr eng beieinander waren, habe ich immer nur eine von beiden herausbekommen.
Wenn die Nullstellen weiter auseinander waren konnte ich problemlos alle berechnen.

Ich habe jetzt irgendwo gelesen, das man mit dem Newton-Verfahren IMMER nur eine Nullstellen rausbekommt.
Stimmt das?
Hätte ich dann in dem Beispiel, wo ich alle Nullstellen berechnet hab einen Fehler gemacht?
Oder hängt das echt davon ab, wie weit die Nullstellen auseinander sind? verwirrt

20.02.2020, 13:27

Steffen Bühler

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RE: Nullstellen bestimmen
Wie Ulrich schon schrieb, ist Newton manchmal "blind" für Nullstellen. Wiki erklärt:

Zitat:

Konvergenz der in der Newtoniteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d. h. das 0-te Glied der Folge, schon "ausreichend nahe" an der Nullstelle liegt. Ist der Startwert zu weit entfernt, ist das Konvergenzverhalten nicht festgelegt, das heißt, es ist sowohl eine Divergenz der Folge möglich als auch eine Oszillation (bei der sich endlich viele Funktionswerte abwechseln) oder eine Konvergenz gegen eine andere Nullstelle der betrachteten Funktion.

In Deinem Fall allerdings konvergiert Newton sicher in eine der Nullstellen, je nach Startwert. Du hast also keinen Fehler gemacht.

Grundsätzlich kann man eine solche Gleichung auch mit der Lambertschen W-Funktion lösen, dann bekommt man die beiden Lösungen sicherer.

Viele Grüße
Steffen

20.02.2020, 14:48

HAL 9000

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Es gibt ein paar (mehr oder weniger gut überprüfbare) hinreichende Kriterien für die Wahl eines passenden Startwerts.

Ein häufiger Anwendungsfall ist der: Das Newton-Verfahren für $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert sicher, falls man in einer Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ der Nullstelle $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0\in U \end{eqnarray*}$ startet, so dass

a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konvex ist und $\begin{eqnarray*} f(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ , oder
b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in ganz $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konkav ist und $\begin{eqnarray*} f(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ .

Dadurch bekommt man nämlich sogar eine monotone Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n=0,1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Richtig gut funktioniert Newton jedoch nur bei einfachen Nullstellen, d.h. solchen mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} f'(x^*)=0 \end{eqnarray*}$ kann es zwar auch noch funktionieren, man verliert da aber den Vorteil der quadratischen Konvergenzgeschwindigkeit.

Im vorliegenden Fall für $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x-2x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=2^x\ln(2)-2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f''(x)=2^x(\ln(2))^2>0 \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ global konvex und wir sind bei Punkt a). Jeglicher Startwert $\begin{eqnarray*} x_0<1 \end{eqnarray*}$ mündet daher in eine streng monoton wachsende Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x^*=1 \end{eqnarray*}$ , jeder Startwert $\begin{eqnarray*} x_0>2 \end{eqnarray*}$ in eine streng monoton fallende Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} x^*=2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 1<x_0<2 \end{eqnarray*}$ geht es etwas wilder zu, wiewohl hier noch sehr überschaubar. Richtig übel wird es nur bei der Nullstelle $\begin{eqnarray*} 1-\frac{\ln(\ln(2))}{\ln(2)}\approx 1.529 \end{eqnarray*}$ der ersten Ableitung bzw. in deren Nähe, denn damit landet $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ sonstwo in der Botanik. Augenzwinkern

20.02.2020, 17:31

Dopap

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manchmal genügt auch eine Fixpunkt_Iteration in der Form $\begin{eqnarray*} x_{i+1}:=g(x_i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit}\, x=2^{x-1} \end{eqnarray*}$ liegt eine solche hie vor. Konvergiert aber nur wenn $\begin{eqnarray*} |g'(x)|<1 \end{eqnarray*}$ in der näheren Umgebung gilt. siehe oben

zum Beispiel mit Startwert Null

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

---x--------------g(x)-----------

...0.0.................0.50
...0.50................0.71
...0.71 ...............0.82
...0.82 ...............0.88
.
.
.
.......................0.99999

konvergiert hier langsam, dafür braucht man aber nur immer mit einer Taste dieselbe Funktion aufrufen.

Die andere Nullstelle ? einfach ausprobieren!

20.02.2020, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Die andere Nullstelle ? einfach ausprobieren!

Na dass hier 1 und 2 die Nullstellen sind, ist ja eh klar. Auch für die Nullstelle 2 klappt ein Fixpunktverfahren, aber basierend auf der nach dem "anderen" x umgestellten Formel $\begin{eqnarray*} x = 1+\log_2(x) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

20.02.2020, 21:11

Dopap

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der pädagogische Lerneffekt ist, selbst zu merken, dass diese Iteration hier versagt und darüber nachzudenken woran das liegen könnte.

20.02.2020, 22:51

HAL 9000

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Wenn du das nächste mal auf "pädagogischen Lerneffekt" aus bist, dann äußere dich weniger kryptisch als in "Die andere Nullstelle ? einfach ausprobieren!". Ich hatte einfach angenommen, dass du dir keine Gedanken darüber gemacht hast, was bei der anderen Nullstelle passiert. Augenzwinkern

21.02.2020, 09:22

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{eqnarray*} 1<x_0<2 \end{eqnarray*}$ geht es etwas wilder zu

Ich hab schon wilderes gesehen. Bis zur erwähnten Ableitungsnullstelle ist es sogar durchaus zahm, rechts davon muss man halt etwas warten, bis es in die 2 konvergiert. In diesem Diagramm wurde lediglich 5mal iteriert:
[attach]50656[/attach]

Hier ist letzlich tatsächlich nur eine einzige Stelle nicht konvergent. Anders sieht es aus, wenn man die Enge der reellen Welt verlässt und sich in die Weite der komplexen Ebene begibt! Auch da regieren natürlich zunächst die zwei Attraktoren 1 (rot) und 2 (blau):
[attach]50657[/attach]
Aber auf der Grenzlinie sind einige Ausbuchtungen zu erkennen. Zoomen wir mal in die auf der reellen Achse:
[attach]50658[/attach]
Wie oft bei Fraktalen gibt es Startwerte, die niemals konvergieren und daher schwarz eingefärbt sind. Und mitten in den roten Regionen finden sich immer wieder blaue Partisanen. Der graue Bereich in der Mitte dagegen wird mit zunehmender Iterationstiefe immer kleiner und schrumpft schließlich zu einem Punkt.

Viele Grüße
Steffen

21.02.2020, 09:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich hab schon wilderes gesehen.

Ich auch, daher ja das Wörtchen "etwas". smile

21.02.2020, 13:29

mYthos

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Edit: Der Bezug ist hier auf die Nullstelle der 1. Ableitung! *

Der Startwert ist völlig unkritisch.
Sowohl mit 1, 2 oder 1,5 ist die Nullstelle bereits recht genau eingegrenzt.
Übrigens auch recht nett mittels Regula Falsi.

[attach]50659[/attach]

Allerdings ist diese Gleichung auch algebraisch zu lösen: $\begin{eqnarray*} x = \frac {\ln \frac 2 {\ln 2}}{\ln 2} \end{eqnarray*}$
--------
(*) Die Nullstellen der Funktion selbst sind mit den Startwerten in Umgebungen von 1 bzw. 2 problemlos zu ermitteln.

Das XLS hier:
[attach]50660[/attach]

mY+

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