Potenzen einer Matrix

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wallflower97 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen einer Matrix
Meine Frage:
Hallo,
Wenn ich eine Matrix A gegeben habe, und A^n für beliebiges bestimmen soll, bedeutet das doch, dass ich die Potenzen der Matrix bestimmen soll?
Und die Potenzen der Matrix A bestimmt man doch indem man A diagonalisiert. Die Beträge in der Diagonalen sind dann die Potenzen.
Aber was wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist? Wie berechnet/ bestimmt man dann die Potenzen?


Meine Ideen:
Ich habe gar keinen Ansatz. Ich bin mir nicht mal sicher, ob das was ich oben geschrieben habe richtig ist...

DANKE!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn diagonalisierbar ist: mit einer Diagonalmatrix , dann kann man in der Tat rechnen. Zunächst hat der Potenzbegriff aber mit Diagonalisierbarkeit nichts zu tun. In jedem Ring mit Einselement hat man Potenzen: und so weiter. Einfaches Beispiel:















Und so weiter.
wallflower97 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold!

Ich habe verstanden was du meinst, aber wenn ich nun folgendes Bsp. habe:

Sei


a.) Bestimme A^n für beliebiges

b.) Bestimme exp A=

Wäre es richtig, wenn ich bei a.) eine Antwort wie deine hinschreibe?
Und könntest du mir bitte auch b erklären? smile

DANKE!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wallflower97
Wäre es richtig, wenn ich bei a.) eine Antwort wie deine hinschreibe?


Warum rechnest du nicht einfach die ersten paar Potenzen aus: ? Spätestens jetzt solltest du ein Muster für erkennen, das du gegebenenfalls mittels vollständiger Induktion beweisen kannst.


Zitat:
Original von wallflower97
Und könntest du mir bitte auch b erklären? smile


Das in a) erhaltene Ergebnis in die Formel für einsetzen und die Matrizen elementweise aufsummieren.

Zur Kontrolle:
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