Poisson-Prozess

Neue Frage »

21.02.2020, 16:00	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson-Prozess Hallo, bei einem Beweis bezüglich des Poisson Prozesses tritt folgende Gleichung auf. $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^k P(N_t = k-i) \cdot P(N_h = i) \underbrace{=}_{1} \sum_{i=2}^k P(N_t = k-i) \cdot o(h) \end{eqnarray}$ Warum gilt 1. Ich habe folgende Eigenschaft zur Verfügung: $\begin{eqnarray} P(N_h \geq 2 )= o(h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{o(h)}{h} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$
21.02.2020, 17:04	Nils Hoppenstedt	Auf diesen Beitrag antworten »
Na es gilt doch : P(N = i) = P(N >= i) - P(N >= i+1) = f(h) - g(h) wobei f(h) und g(h) Elemente von o(h) sind. Nun gilt, dass, wenn zwei Funktionen Elemente von o(h) sind, dass auch ihre Differenz ein Element aus o(h) ist, denn es ist: lim [(f(h)-g(h))/h] = lim f(h)/h - lim g(h)/h = 0 - 0 = 0. In der üblichen verkürzten Landau-Schreibweise also: f(h) - g(h) = o(h). Viele Grüße, Nils
21.02.2020, 17:12	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Nils Die Darstellung als Differenz war der entscheidende Hinweis
21.02.2020, 19:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie sieht es ja so aus, als soll da letztlich $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^k P(N_t = k-i)\cdot P(N_h = i) = o(h) \end{eqnarray}$ nachgewiesen werden. Das würde ich eher gleich so folgern: $\begin{eqnarray} \sum_{i=2}^k P(N_t = k-i)\cdot P(N_h = i) \leq \sum_{i=2}^k P(N_h = i) \leq P(N_h\geq 2) = o(h) \end{eqnarray}$
23.02.2020, 11:11	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Hal9000. So geht es natürlich auch In dem Kontext hätte ich noch eine Frage. Bezeichne mit $\begin{eqnarray} s_i \end{eqnarray}$ die Schadenszeitpunkte, für die gilt: $\begin{eqnarray} 0\leq s_1\leq s_2 \leq.... \end{eqnarray}$ Dann gilt für die Schadensanzahl $\begin{eqnarray} N(t)= sup \{ n \in \mathbb N_0 : s_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray}$ Was drückt das $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ in diesem Fall aus. Ein konkretes Schadensereignis?
23.02.2020, 11:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ kennzeichnet ein Elementarereignis, d.h., ein Element der Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ des Wahrscheinlichkeitsraumes. D.h., während $\begin{eqnarray} s_1,s_2,\ldots \end{eqnarray}$ die Zufallsgrößen sind, welche die Zeitpunkte des ersten, zweitem usw. Schadens kennzeichnen, so sind für festes $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ die Werte $\begin{eqnarray} s_1(\omega),s_2(\omega),\ldots \end{eqnarray}$ die konkreten Schadenszeitpunkte (d.h. reelle Zahlen) der zu diesem $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ gehörenden Prozesstrajektorie. Richtiger wäre demnach die Kennzeichnung $\begin{eqnarray} N(t)(\omega) = \sup\left\{ n \in \mathbb N_0 :\; s_n(\omega) \leq t\right\} \end{eqnarray}$ , wobei dann entsprechend $\begin{eqnarray} N(t)(\omega) \end{eqnarray}$ der konkrete Anzahlwert der bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ auftretenden Schadensfälle ist, bezogen auf dieselbe Trajektorie. Das ganze als Unterscheidung zur Zufallsgröße $\begin{eqnarray} N(t) \end{eqnarray}$ .
Anzeige

23.02.2020, 17:46	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Jedoch verstehe ich noch nicht ganz, wie so ein Elementarereignis beispielsweise aussehen würde. Kann du da ein Beispiel nennen ?
24.02.2020, 10:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Löse dich von der Vorstellung, dass ein Elementarereignis unbedingt irgendwie "interpretierbar" sein muss. I.a. ist das ein abstraktes Konstrukt! Es gibt zwar bisweilen die Vorgehensweisen, zu einer Problemstellung einen dazu passenden W-Raum kanonisch zu konstruieren, z.B. im Falle eines zweimaligen Münzwurfs modelliert durch $\begin{eqnarray} \Omega = \{ KK, KZ, ZK, ZZ\} \end{eqnarray}$ , d.h. die Struktur der Elementarereignisse ist 1:1 den auftretenden Zufallsvektorwerten nachgebildet - aber das ist kein Muss. Im vorliegenden Fall etwas könnte man $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb{R}_+^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ als Grundraum nehmen, die Elemente (=Elementarereignisse) $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ sind dann Folgen positiver reeller Zahlen $\begin{eqnarray} \omega = (\omega_1,\omega_2,\ldots) \end{eqnarray}$ und es ist dann $\begin{eqnarray} s_k(\omega) := \omega_1+\ldots+\omega_k \end{eqnarray}$ (d.h., die $\begin{eqnarray} \omega_k \end{eqnarray}$ beschreiben in dieser Modellierung die Zeit zwischen zwei Ausfällen). Die Frage ist, ob einem eine solche explizite Festlegung der $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ irgendwas nützt: Manchmal ja, sehr oft nicht - wichtig ist die Verteilung der $\begin{eqnarray} s_k \end{eqnarray}$ , und dazu muss man die Struktur von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nicht unbedingt kennen. Und wie gesagt, dass ist nur eine mögliche Modellierung.
25.02.2020, 00:49	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Deine Erklärung hat mir echt weitergeholfen Im Kontext mit dem Poisson Prozess tritt im weiteren Verlauf der gemischte auf: Dabei gilt: $\begin{eqnarray} P( \bigcap_{i=1}^m \{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \})= \sum_{j=1}^l \prod_{i=1}^m \frac{ (\lambda_j (b_i -a_i))^{k_i}}{k_i!} e^{- \lambda_j (b_i-a_i)} p_j \end{eqnarray}$ Die Frage ist, inwiefern das Produkt auf der rechten Seite plausibel?
25.02.2020, 08:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Poisson-Prozess mit Intensität $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist, und die Intervalle $\begin{eqnarray} (a_1,b_1], (a_2,b_2], \ldots, (a_m,b_m] \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt sind, dann gilt schlicht $\begin{eqnarray} P\left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\}\right) = \prod_{i=1}^m P\left( N(b_i) - N(a_i) =k_i \right) = \prod_{i=1}^m \frac{(\lambda (b_i-a_i))^{k_i}}{k_i!} e^{-\lambda (b_i-a_i)} \end{eqnarray}$ . Die in deiner Formel auftauchenden, aber nirgendwo erklärten $\begin{eqnarray} p_j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_j \end{eqnarray}$ deuten an, dass du irgend einen anderen Prozess meinst (eine Art Mischung aus verschiedenen Poissonprozessen). Sowas solltest du schon besser erläutern, bevor du weitgehend kommentarlos so eine Formel hinknallst ("der gemischte" ist als Erläuterung ein bisschen dürftig).
25.02.2020, 09:49	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht. Tut mir leid. Es geht um den Poisson-Prozess mit diskreter Mischung A. A ist dabei eine Zufallsvariable die die Werte $\begin{eqnarray} \lambda _i \end{eqnarray}$ mit Wkt $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ annimmt für $\begin{eqnarray} i=1,...l \end{eqnarray}$ Für Auswahl von natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} 0 \leq a_1 < b_1 \leq a_2 <b_2... \end{eqnarray}$ gilt diese Formel. Jetzt ist die Frage, inwiefern das Produkt auf der rechten Seite Sinn macht, weil dieser gemischte Poisson-Prozess keine unabhängigen Zuwächse aufweisen soll?
25.02.2020, 10:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die oben von dir angegebene Formel ergibt sich ja als Ergebnis der Mischung. Und es gilt zwar die bedingte (!) Unabhängigkeit der Zuwächse $\begin{eqnarray} P\left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \mid A=\lambda_j \right) = \prod_{i=1}^m \frac{(\lambda_j (b_i-a_i))^{k_i}}{k_i!} e^{-\lambda_j (b_i-a_i)} = \prod_{i=1}^m P\left( N(b_i) - N(a_i) =k_i \mid A=\lambda_j \right) \end{eqnarray}$ , aber außer im Trivialfall Einpunktverteilung (d.h. alle $\begin{eqnarray} p_i=0 \end{eqnarray}$ außer einem) folgt daraus NICHT die (absolute) Unabhängigkeit $\begin{eqnarray} P\left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\}\right) \stackrel{?}{=} \prod_{i=1}^m P\left( N(b_i) - N(a_i) =k_i \right) \end{eqnarray}$ . Das kann man sich bereits an einem ganz trivialen Beispiel mit $\begin{eqnarray} m=l=2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lambda_1\neq\lambda_2 \end{eqnarray}$ klarmachen.
25.02.2020, 10:30	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso. Wenn A $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ annimmt, hat man ja wieder den gewöhnlichen Poisson- Prozess und dort gibt es unabhängige Zuwächse. Ich muss doch dann um auf die Formel zu kommen, folgendes machen: $\begin{eqnarray} P\left(\bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \mid A=\lambda_j \right) = P( \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \cap\{ A=\lambda_j \}\right) P(A= \lambda_j )= P \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \cap \{ A=\lambda_j \} \right) p_j \end{eqnarray}$ Dann gilt doch $\begin{eqnarray} P \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \cap \bigcup_j \{ A=\lambda_j \} \right)= \sum_j P \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \cap \{ A=\lambda_j \} \right) \end{eqnarray}$ wobei zum Schluss eingeht, dass P ein Wkt-Maß ist. So wird doch dann die Formel plausibel.
25.02.2020, 11:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du just die Symbolik verwechselt, d.h., anders herum wird ein Schuh draus: Basierend auf $\begin{eqnarray} P(U\cap V) = P(U\mid V)\cdot P(V) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} P( \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \cap\{ A=\lambda_j \}\right) = P\left(\bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \mid A=\lambda_j \right) P(A= \lambda_j )= P \left( \bigcap_{i=1}^m \left\{ N(b_i) - N(a_i) =k_i \right\} \mid A=\lambda_j \right) p_j \end{eqnarray}$ .
25.02.2020, 11:41	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups. Sorry Aber das ich dann die Vereinigung über die Ereignisse für die A die Werte $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ so einbaue, müsste doch passen ?
25.02.2020, 13:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist dann einfach die Formel der Totalen Wahrscheinlichkeit.
25.02.2020, 16:07	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Du hast gesagt, dass man sich die nicht geltende Unabhängigkeit für einen gemischten Poisson Prozess leicht überlegen. An welches Beispiel hast du da gedacht?
25.02.2020, 16:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss es einfach nur mal wirklich konkretisieren: $\begin{eqnarray} m=l=2, \lambda_1=1,\lambda_2=2,p_1=p_2=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a_1=0,b_1=1,a_2=1,b_2=2 \end{eqnarray}$ Dann gilt für $\begin{eqnarray} k_1=0,k_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P\left(N(1)-N(0)=0,N(2)-N(1)=0 \mid \lambda=a\right) = e^{-a}\cdot e^{-a} = e^{-2a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P\left(N(1)-N(0)=0,N(2)-N(1)=0\right) = \frac{1}{2}\left( e^{-2}+e^{-4}\right) \end{eqnarray}$ . Andererseits gilt $\begin{eqnarray} P\left(N(1)-N(0)=0 \mid \lambda=a\right) = e^{-a} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} P\left(N(1)-N(0)=0\right) = \frac{1}{2}\left(e^{-1}+e^{-2}\right) \end{eqnarray}$ und analog genauso $\begin{eqnarray} P\left(N(2)-N(1)=0\right) = \frac{1}{2}\left(e^{-1}+e^{-2}\right) \end{eqnarray}$ Da nun aber $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\left( e^{-2}+e^{-4}\right) \neq \left[ \frac{1}{2}\left(e^{-1}+e^{-2}\right) \right]^2 \end{eqnarray}$ gilt (nachrechnen!), liegt keine Unabhängigkeit vor. Im Gegensatz zu manch anderen Gegenbeispielen, wo man wirklich intensiv suchen muss, war es hier "nur" die Arbeit, die vielen Parameter einfach mal konkret festzulegen. Die Gefahr, dass es damit dann als Gegenbeispiel nicht geklappt hätte, ist hier bei $\begin{eqnarray} p_1>0,p_2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lambda_1\neq \lambda_2 \end{eqnarray}$ nahe bei Null.
26.02.2020, 10:42	Sven400	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Du hast mir echt sher geholfen

Neue Frage »

Antworten »

Poisson-Prozess

Verwandte Themen