Stetige Funktionen auf einer Topologie

22.02.2020, 09:43	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktionen auf einer Topologie Meine Frage: Beschreiben Sie die Menge aller stetigen Funktionen R ->{0,1}, wobei die Topologie auf{0,1}jeweils gegeben ist durch (1) $\begin{eqnarray} \tau_{1} \end{eqnarray}$ ={ $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,{0,1}}, (2) $\begin{eqnarray} \tau_{2} \end{eqnarray}$ ={ $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,{1},{0,1}}, (3) $\begin{eqnarray} \tau_{3} \end{eqnarray}$ ={ $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ ,{0},{1},{0,1}} Benutzen Sie für ihre Antwort den Begriff der charakteristischen Funktion. Überlegen Sie sich auch, wie die Antworten aussehen für einen allgemeinen topologischen Raum X und stetige Funktionen X -> {0,1}. Meine Ideen: Für (1) würde ich den Satz verwenden, dass Stetigkeit von f äquivalent ist zu: Für jede offene Menge A ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \end{eqnarray}$ also das Urbild offen bezüglich der Standardtopologie auf R. Dann nehme ich eine beliebige Abbildung f. Das Urbild der leeren Menge unter f ist die leere Menge und das Urbild von {0,1} ist ganz R, da {0,1} die gesammte Wertemenge von f ist. Da f beliebig war, sind beliebige Funktionen f:R->{0,1} stetig. (2) Hier komme ich nicht mehr so richtig weiter bzw. bin mir nicht sicher, ob meine Überlegungen stimmen. Für die leere Menge und {0,1} gilt der Satz wie oben für beliebige f. Da das Urbild von {1} auch wieder offen sein muss, würde ich sagen, f ist eine beliebige charakteristische Funktion bezüglich einer beliebigen offenen Teilmenge T von R, da nur diese Elemente auf 1 abgebildet werden. Somit ist dann das Urbild von {1} offen. Für (3) gilt das gleiche wie bei 2, nur dass nun auch das Urbild von {0} offen sein muss, also muss das Komplement der Menge T auch offen sein. Demnach muss T eine offene und abgeschlossene Menge sein, was in R nur von ganz R und der leeren Menge erfüllt wird. Bei 1 bin ich mir relativ sicher, bei den anderen beiden jedoch nur so halb. Könnte mir vielleicht jemand sagen, ob das so Sinn macht?
23.02.2020, 17:33	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Funktionen auf einer Topologie Klingt gut! Denk dran, dass gezeigt werden muss, dass man wirklich alle Funktionen bzgl. $\begin{eqnarray} \tau_k \end{eqnarray}$ gefunden hat - im ersten Fall braucht man das nicht, weil ja alle Funktionen stetig sind. In den anderen beiden Fällen fehlt der Teil noch - auch wenn das nur ein Satz ist. Für die 2. Topologie wurde z.B. gezeigt, dass für jede stetige Funktion die Bedingung $\begin{eqnarray} f^{-1}(\{1\})=:U \end{eqnarray}$ offen (in R) sein muss, d.h. die Menge der stetigen Funktionen ist (zunächst) nur eine Teilmenge der Indikatorfunktionen bzgl. offener Mengen in R: Jede stetige Funktion ist eine Indikatorfunktion bzgl. einer offenen Menge (in R), aber gilt auch die Umkehrung? Wenn wir dann noch sagen, dass jede dieser Indikatorfunktion bezüglich der 2. Topologie stetig ist, sollte es perfekt sein!

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