Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen

22.02.2020, 19:26

zul()

Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen

Hallo,

Mal die Aufgabe, einfach nur ein Beispiel. Geht letztendlich um das Weiterrechnen mit einem -k unter der Wurzel.

$\begin{eqnarray*} f'_{k}(x)= 4x^3+2kx \\ f''_{k}(x)= 12x^2 \\ \\ f'_{k}(x)=0 \\ 0=x(4x^2+2k) \\ x_{1}=0 \\ 0=4x^2+2k \\ 0=x^2+\frac{1}{2}k \\ \pm \sqrt{-\frac{1}{2}k }=x_{2/3} \\ \\ => k\,muss <0\,sein\\ \\ \pm \sqrt{-\frac{1}{2}k }\Rightarrow f''_{k} \\ \end{eqnarray*}$
Mein Problem ist, wie soll ich jetzt mit dem -k am besten rechnen? So:
$\begin{eqnarray*} f''_{k}(\pm \sqrt{\frac{1}{2}k })= 12*(\pm \sqrt{\frac{1}{2}k })^2-2k=4k\\ oder:\\ f''_{k}(\pm \sqrt{\frac{1}{2}k })= 12*(\pm \sqrt{\frac{1}{2}k })^2+2k=8k\\ \end{eqnarray*}$

Wenn ich das eine k unter der Wurzel schon negativ setze, muss ich doch alle ks negativ setzen, auch das +2k zu -2k. aber was mache ich dann mit dem Ergebnis? Ist das da dann auch schon mit einkalkuliert? Oder ist das dann eigentlich -4k?
Oder besser gefragt, ist dass dann ein HP oder ein TP, bzw. bei der y-Koordinate im nächsten Schritt: Liegt die Koordinate dann über oder unter der x-Achse?

Ich tu mich schwer damit das Ergebnis logisch auf - oder + zu interpretieren weil ich schon so viel Gedankenspiele mit k=-k in der Funktion durchführe.

Danke Euch.

22.02.2020, 19:53

klauss

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen
Die Aufgabe ist natürlich unvollständig wiedergegeben, z. B. ist nicht gesagt, aus welchem Wertevorrat k gewählt werden darf.
Ich nehme an, es sollen im oberen Teil mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von k ermittelt werden.
Dann ist angesichts der Wurzel die Fallunterscheidung geboten:
1. Für k>0 hat die 1. Ableitung nur eine einfache Nullstelle.
2. Für k=0 hat die 1. Ableitung eine dreifache Nullstelle.
3. Für k<0 hat die 1. Ableitung drei einfache Nullstellen.

Für Fall 3. kannst du die beiden Wurzeln in die 2. Ableitung einsetzen, aber wo kommt da Dein Summand $\begin{eqnarray*} \pm2k \end{eqnarray*}$ her, der ist in der 2. Ableitung doch gar nicht drin?

22.02.2020, 20:14

zul()

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen
Sorry hab dreimal gecheckt aber anscheinend ist in der zweiten Ableitung Das +2k verloren gegangen. (+2kx abgeleitet ergibt +2k).

Die Aufgabe ist Kurvendiskussion. Anzunehmen ist das D=R. Ergebnisangabe erfolgt per Fallunterscheidung. Die Nullstellen hab ich schon ausgerechnet. Da musste man ja die Wurzel aus - k nicht nicht nochmal irgendwo einsetzten...

22.02.2020, 20:32

klauss

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen
Sorry meinerseits. Hatte übersehen, dass $\begin{eqnarray*} +2k \end{eqnarray*}$ bei Dir verlorengegangen war.
Ändert aber nichts Wesentliches. Unter der Voraussetzung k<0 setzt Du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ z. B. ein
$\begin{eqnarray*} f_{k}''\left(-\sqrt{-\frac{1}{2}k } \right) =12\cdot \left(-\sqrt{-\frac{1}{2}k }\right)^{2}+2k \end{eqnarray*}$
und interpretierst, was das für das Vorzeichen der 2. Ableitung bedeutet.

Dass sich D=R auf k beziehen soll, muß schon ausdrücklich gesagt werden, denn dass D=R bezüglich x gelten soll, liegt nahe.

Edit: Mußte nochmal korrigieren, bin wohl heute nicht ganz fit ... Hammer

22.02.2020, 20:44

URL

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen
Wegen $\begin{eqnarray*} f''_{k}(x)= 12x^2 +2k \end{eqnarray*}$ braucht man hier keinerlei Klimmzüge zu machen.
Es ist $\begin{eqnarray*} x_2^2=x_3^2=-\frac k 2 \end{eqnarray*}$ und man kann dieses Quadrat direkt einsetzen und bekommt in jedem Fall den Wert $\begin{eqnarray*} -4k \end{eqnarray*}$

22.02.2020, 21:34

zul()

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen

Zitat:

Original von URL
Wegen $\begin{eqnarray*} f''_{k}(x)= 12x^2 +2k \end{eqnarray*}$ braucht man hier keinerlei Klimmzüge zu machen.
Es ist $\begin{eqnarray*} x_2^2=x_3^2=-\frac k 2 \end{eqnarray*}$ und man kann dieses Quadrat direkt einsetzen und bekommt in jedem Fall den Wert $\begin{eqnarray*} -4k \end{eqnarray*}$

Jo Danke Dir. Habe Das gerade herausgefunden. Über den Weg die Wurzel einfach in einen Bruch zu überführen...ließ sich Dann ganz einfach Rechnen und bekam - 4k raus. Musste man aber erstmal drauf kommen ^^

Ans einfach unformen denkt man oft gar nicht. Das Macht alles viel weniger kompliziert. smile

Danke Dir nochmal für die Bestätigung jetzt weiß ich dass ich verstanden hab Big Laugh

22.02.2020, 21:37

zul()

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RE: Ergebnisinterpretation bei Kurvenscharen

Zitat:

Original von klauss
Sorry meinerseits. Hatte übersehen, dass $\begin{eqnarray*} +2k \end{eqnarray*}$ bei Dir verlorengegangen war.
Ändert aber nichts Wesentliches. Unter der Voraussetzung k<0 setzt Du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ z. B. ein
$\begin{eqnarray*} f_{k}''\left(-\sqrt{-\frac{1}{2}k } \right) =12\cdot \left(-\sqrt{-\frac{1}{2}k }\right)^{2}+2k \end{eqnarray*}$
und interpretierst, was das für das Vorzeichen der 2. Ableitung bedeutet.

Dass sich D=R auf k beziehen soll, muß schon ausdrücklich gesagt werden, denn dass D=R bezüglich x gelten soll, liegt nahe.

Edit: Mußte nochmal korrigieren, bin wohl heute nicht ganz fit ... Hammer

Alles gut, hab es Jetzt glücklich er weiße auflösen können, Danke Dir auch smile

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