Numerik Gauß-Legendre-Quadratur

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23.02.2020, 12:19	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik Gauß-Legendre-Quadratur Meine Frage: Habe eine Frage zum Fehler der QF bei folgendem Beispiel: Beispiel 2.19 (Gauß-Legendre-Quadratur). Hier liegen das Intervall [?1, 1] und das konstante Gewicht Omega = 1 zugrunde. Die zugehörigen Orthogonalpolynome {p_k}_k?N0 sind die Legendre-Polynome. Die ersten vier lauten gemäß der Rekursion aus Satz 2.14 p_0 = 1, p_1(t) = t, p_2(t) = t^2 ?1/3, p3(t) = t(t^2-3/5). Die Nullstellen von p_3 sind: ?2,0 = 3/5)^(1/2), ?2,1 = 0, ?2,2 =(3/5)^(1/2). Die zugehörigen Lagrange-Polynome sind: L_2,0(t) =5/6 t(t 3/5)^(1/2)), L_2,1(t) = ?5/3 t^2 + 1, L_2,2(t) =5/6 t(t +(3/5)^(1/2). Daraus berechnen wir die Intergrationsgewichte gemäß (2.12) ?_2,0 = 5/9, ?_2,1 = 8/9, ?_2,2 = 5/9. und erhalten die Quadraturformel î2(f) =5/9 f( 3/5)^(1/2))+8/9 f(0) +5/9 f((3/5)^(1/2)), die Polynome bis zum Grad 5 exakt über [?1, 1] integriert. Durch Transformation erhalten wir eine Quadraturformel für eine beliebiges endliches Intervall [a, b], ?? < a < b < ?. Aus integral(a->b) f(x) dx =(b ? a)/2 integral(-1->1) f(a+(1+t)/2 (b?a))dt folgt Î_2(f) =(b?a)/18 (5 f(a+(1-(3/5)^(1/2) (b-a))+8 f((b+a)/2)+5 f(a+(1+(3/5)^(1/2) (b-a))) Diese Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 5 exakt über [a, b]. Für f ? C^6([a, b]) ist der Integrationsfehler I(f) ? Î_2(f) = f^(6)(?)/15750 ((b-a)/2)^7 für ein ? ?]a, b[. Die Frage ist jetzt genau wie ich auf das ((b-a)/2)^7 komme. Meine Ideen: Der allg. Fehler ist laut Skript: f^(2n+2)(?)/(2n+2)!* integral(a->b) p_(n+1)^2(t)Omega(t) dt Wobei p_(n+1) das Orthog. poly bzgl. der Norm: \|\|f\|\|_Omega = (f,f), (f,g)_Omega = integral(a->b) g(t)f(t)Omega(t) dt Wenn ich von -1 bis 1 p_3 integriere bekomme ich 8/175 raus, 8/1751/6!= 1/15750 Wenn ich von a bis b p_3 integriere und transformiere komme ich auch nicht auf die Lösung. Hat jemand einen Tipp oder eine Idee, bzw. kann mir jemand auf den richtigen Weg verhelfen? Danke
23.02.2020, 12:21	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
Die " verwirrt " bzw ^2 sollen (^ 2) sein
23.02.2020, 12:27	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe eine Frage zum Fehler der QF bei folgendem Beispiel: Beispiel 2.19 (Gauß-Legendre-Quadratur). Hier liegen das Intervall [-1, 1] und das konstante Gewicht Omega = 1 zugrunde. Die zugehörigen Orthogonalpolynome {p_k}_k∈N0 sind die Legendre-Polynome. Die ersten vier lauten gemäß der Rekursion aus Satz 2.14 p_0 = 1, p_1(t) = t, p_2(t) = t^2-1/3, p3(t) = t(t^2-3/5). Die Nullstellen von p_3 sind: Ä2,0 =-(3/5)^(1/2), Ä2,1 = 0, Ä2,2 =(3/5)^(1/2). Die zugehörigen Lagrange-Polynome sind: L_2,0(t) =5/6 t(t-(3/5)^(1/2)), L_2,1(t) = -5/3 t^2 + 1, L_2,2(t) =5/6 t(t +(3/5)^(1/2). Daraus berechnen wir die Intergrationsgewichte gemäß (2.12) λ_2,0 = 5/9, λ_2,1 = 8/9, λ_2,2 = 5/9. und erhalten die Quadraturformel I_dach_2(f) =5/9 f(-(3/5)^(1/2))+8/9 f(0) +5/9 f((3/5)^(1/2)), die Polynome bis zum Grad 5 exakt über [-1, 1] integriert. Durch Transformation erhalten wir eine Quadraturformel für eine beliebiges endliches Intervall [a, b], -∞ < a < b < ∞. Aus integral(a->b) f(x) dx =(b-a)/2 integral(-1->1) f(a+(1+t)/2 (b-a))dt folgt I_dach_2(f) =(b-a)/18 (5 f(a+(1-(3/5)^(1/2) (b-a))+8 f((b+a)/2)+5 f(a+(1+(3/5)^(1/2) (b-a))) Diese Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 5 exakt über [a,b]. Für f ∈ C^6([a, b]) ist der Integrationsfehler I(f)-I_dach_2(f) = f^(6)(Ä)/15750 ((b-a)/2)^7 für ein Ä ∈]a, b[. Die Frage ist jetzt genau wie ich auf das ((b-a)/2)^7 komme. Der allg. Fehler ist laut Skript: f^(2n+2)(Ä)/(2n+2)!* integral(a->b) p_(n+1)^2(t)Omega(t) dt Wobei p_(n+1) das Orthog. poly bzgl. der Norm: \|\|f\|\|_Omega = (f,f), (f,g)_Omega = integral(a->b) g(t)f(t)Omega(t) dt Wenn ich von -1 bis 1 p_3 integriere bekomme ich 8/175 raus, 8/1751/6!= 1/15750 Wenn ich von a bis b p_3 integriere und transformiere komme ich auch nicht auf die Lösung. Hat jemand einen Tipp oder eine Idee, bzw. kann mir jemand auf den richtigen Weg verhelfen? Danke
23.02.2020, 22:28	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratur Hallo candys123, interessante Ausführungen. Würde mich gerne damit beschäftigen. Aber könntest du die Hieroglyphen {p_k}_k∈N0 -&#8734 &#8712 und so weiter bitte noch auflösen? Vielen Dank!
24.02.2020, 08:55	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Entschuldigung, das hatte ich übersehen. Das soll heißen {p_k}_k , k element \|N_0, also eine Folge von Orthhogonalpolynomen p_0, ..., p_k mit k element den Natürlichen Zahlen mit der Null.
24.02.2020, 08:59	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur &#8734 ist unendlich, &#8712 war element, also Habe eine Frage zum Fehler der QF bei folgendem Beispiel: Beispiel 2.19 (Gauß-Legendre-Quadratur). Hier liegen das Intervall [-1, 1] und das konstante Gewicht Omega = 1 zugrunde. Die zugehörigen Orthogonalpolynome {p_k}_k∈N0 sind die Legendre-Polynome. Die ersten vier lauten gemäß der Rekursion aus Satz 2.14 p_0 = 1, p_1(t) = t, p_2(t) = t^2-1/3, p3(t) = t(t^2-3/5). Die Nullstellen von p_3 sind: Ä2,0 =-(3/5)^(1/2), Ä2,1 = 0, Ä2,2 =(3/5)^(1/2). Die zugehörigen Lagrange-Polynome sind: L_2,0(t) =5/6 t(t-(3/5)^(1/2)), L_2,1(t) = -5/3 t^2 + 1, L_2,2(t) =5/6 t(t +(3/5)^(1/2). Daraus berechnen wir die Intergrationsgewichte gemäß (2.12) λ_2,0 = 5/9, λ_2,1 = 8/9, λ_2,2 = 5/9. und erhalten die Quadraturformel I_dach_2(f) =5/9 f(-(3/5)^(1/2))+8/9 f(0) +5/9 f((3/5)^(1/2)), die Polynome bis zum Grad 5 exakt über [-1, 1] integriert. Durch Transformation erhalten wir eine Quadraturformel für eine beliebiges endliches Intervall [a, b], mit -unendlich < a < b < unendlich. Aus integral(a->b) f(x) dx =(b-a)/2 integral(-1->1) f(a+(1+t)/2 (b-a))dt folgt I_dach_2(f) =(b-a)/18 (5 f(a+(1-(3/5)^(1/2) (b-a))+8 f((b+a)/2)+5 f(a+(1+(3/5)^(1/2) (b-a))) Diese Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 5 exakt über [a,b]. Für f element von C^6([a, b]) ist der Integrationsfehler I(f)-I_dach_2(f) = f^(6)(Ä)/15750 ((b-a)/2)^7 für ein Ä element von ]a, b[. Die Frage ist jetzt genau wie ich auf das ((b-a)/2)^7 komme. Der allg. Fehler ist laut Skript: f^(2n+2)(Ä)/(2n+2)!* integral(a->b) p_(n+1)^2(t)Omega(t) dt Wobei p_(n+1) das Orthog. poly bzgl. der Norm: \|\|f\|\|_Omega = (f,f), (f,g)_Omega = integral(a->b) g(t)f(t)Omega(t) dt Wenn ich von -1 bis 1 p_3 integriere bekomme ich 8/175 raus, 8/1751/6!= 1/15750 Wenn ich von a bis b p_3 integriere und transformiere komme ich auch nicht auf die Lösung. Hat jemand einen Tipp oder eine Idee, bzw. kann mir jemand auf den richtigen Weg verhelfen? Danke
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24.02.2020, 09:01	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Ich muss mir einen Account erstellen, damit ich immer bearbeiten kann... Habe eine Frage zum Fehler der QF bei folgendem Beispiel: Beispiel 2.19 (Gauß-Legendre-Quadratur). Hier liegen das Intervall [-1, 1] und das konstante Gewicht Omega = 1 zugrunde. Die zugehörigen Orthogonalpolynome {p_k}_k , k element \|N_0 sind die Legendre-Polynome. Die ersten vier lauten gemäß der Rekursion aus Satz 2.14 p_0 = 1, p_1(t) = t, p_2(t) = t^2-1/3, p3(t) = t(t^2-3/5). Die Nullstellen von p_3 sind: Ä2,0 =-(3/5)^(1/2), Ä2,1 = 0, Ä2,2 =(3/5)^(1/2). Die zugehörigen Lagrange-Polynome sind: L_2,0(t) =5/6 t(t-(3/5)^(1/2)), L_2,1(t) = -5/3 t^2 + 1, L_2,2(t) =5/6 t(t +(3/5)^(1/2). Daraus berechnen wir die Intergrationsgewichte gemäß (2.12) λ_2,0 = 5/9, λ_2,1 = 8/9, λ_2,2 = 5/9. und erhalten die Quadraturformel I_dach_2(f) =5/9 f(-(3/5)^(1/2))+8/9 f(0) +5/9 f((3/5)^(1/2)), die Polynome bis zum Grad 5 exakt über [-1, 1] integriert. Durch Transformation erhalten wir eine Quadraturformel für eine beliebiges endliches Intervall [a, b], mit -unendlich < a < b < unendlich. Aus integral(a->b) f(x) dx =(b-a)/2 integral(-1->1) f(a+(1+t)/2 (b-a))dt folgt I_dach_2(f) =(b-a)/18 (5 f(a+(1-(3/5)^(1/2) (b-a))+8 f((b+a)/2)+5 f(a+(1+(3/5)^(1/2) (b-a))) Diese Quadraturformel integriert Polynome bis zum Grad 5 exakt über [a,b]. Für f element von C^6([a, b]) ist der Integrationsfehler I(f)-I_dach_2(f) = f^(6)(Ä)/15750 ((b-a)/2)^7 für ein Ä element von ]a, b[. Die Frage ist jetzt genau wie ich auf das ((b-a)/2)^7 komme. Der allg. Fehler ist laut Skript: f^(2n+2)(Ä)/(2n+2)!* integral(a->b) p_(n+1)^2(t)Omega(t) dt Wobei p_(n+1) das Orthog. poly bzgl. der Norm: \|\|f\|\|_Omega = (f,f), (f,g)_Omega = integral(a->b) g(t)f(t)Omega(t) dt Wenn ich von -1 bis 1 p_3 integriere bekomme ich 8/175 raus, 8/1751/6!= 1/15750 Wenn ich von a bis b p_3 integriere und transformiere komme ich auch nicht auf die Lösung. Hat jemand einen Tipp oder eine Idee, bzw. kann mir jemand auf den richtigen Weg verhelfen? Danke
24.02.2020, 13:51	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Hallo Candy, deine Formel für die Integration über das Intervall [a, b] ist falsch. Zitat aus MatheBoard: „An alle LaTex Verweigerer. Wenn ihr schon LaTex verweigert, setzt bitte die Klammern richtig“. Hier also die meines Erachtens korrekte Formel: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(t) \, dt \approx \frac{5}{18} (b-a) f\left(\frac{(a+b)(5-\sqrt{15}) }{10} \right) + \frac{4}{9}(b-a) f(\frac{a+b}{2}) + \frac{5}{18} (b-a) * f\left(\frac{(a+b)(5+\sqrt{15}) }{10} \right) \end{eqnarray}$ Alles weitere in deiner Frage guck ich mir noch an. Oder Andere aus der Community.
25.02.2020, 09:55	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Ich verstehe nicht so recht warum die Falsch sein sollte, mit substitution $\begin{eqnarray} u = a+\frac{1+t}{2}(b-a) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} f(x) \ dx = \int_{-1}^{1} \frac{b-a}{2} * f(a+\frac{1+u}{2}(b-a)) \ du \end{eqnarray}$ Die Gewichte wurden bereits berechnet, die Knoten auch (das sind die Nullstellen des 3. Orthog.polyn.) => $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} f(x) \ dx = \int_{-1}^{1} \frac{b-a}{2}f(a+\frac{1+u}{2}(b-a)) \ du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \approx \frac{b-a}{2} \Big(\frac {5}{9} * f\big(a+\frac{1-\sqrt{\frac{3}{5}}}{2}(b-a)\big) + \frac {8}{9} f\big(a+\frac{1-0}{2}(b-a)\big) + \frac {5}{9} f\big(a+\frac{1+\sqrt{\frac{3}{5}}}{2}(b-a)\big)\Big) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{b-a}{18} \Big(5 * f\big(a+\frac{1-\sqrt{\frac{3}{5}}}{2}(b-a)\big) + 8 f\big(\frac{b+a}{2}\big) + 5 * f\big(a+\frac{1+\sqrt{\frac{3}{5}}}{2}(b-a)\big)\Big) \end{eqnarray}$ Wo habe ich/das Skript hier den Fehler gemacht?
25.02.2020, 10:14	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Hab die falsche Substitution hingeschrieben: $\begin{eqnarray} u = 2\frac{x-a}{b-a}-1 => x(a)=-1, x(b)=1 \end{eqnarray}$ , nach x auflösen: $\begin{eqnarray} x=a+\frac{1+u}{2}(b-a) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx}=\frac{2}{b-a} => dx=\frac{b-a}{2} du \end{eqnarray*}$ So sollte also eigentlich alles passen. Können Sie bitte Ihren genauen Rechenweg schreiben, speziell wie Sie die Knoten berechnet haben und Ihre Substitution. Ich sah eigentlich keine Fehler bei der Berechnung von diesen. MfG
25.02.2020, 15:53	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Hallo Candy, vielen Dank, dass du deine Formel für das Gauß-Integrieren von a bis b getecht hast. Deine Formel ist korrekt, und meine ist falsch. Ich habe das mit einem Beispiel getestet und muss meinen Fehler noch suchen. Jetzt kümmere ich mich um deine Formel für den Quadraturfehler. Sorry, ich habe leider wenig Zeit, daher antworte ich immer relativ langsam. Vlt. ist jemand anderes schneller.
25.02.2020, 17:03	candys123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Hallo RomanGam kein Problem, vielen Dank dass du dir die Mühe machst.
25.02.2020, 19:34	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratur Hallo Candy, ich habe herausgefunden, wo ich mich auf dem Weg zu meiner Integrationsformel über das allgemeine Intervall a bis b verrechnet habe. Jetzt zu deinem Quadraturfehler: Du fragst, wo der Term ((b-a)/2)^7 herkommt. Dieser Term ist völlig korrekt. Man kann sich den so plausibel machen: Wenn ich statt e^x von 0 bis 1 die gestreckte Funktion e^(x/2) von 0 bis 2 integriere, muss ja für das Integral der doppelte Wert herauskommen. Und wenn ich in meiner Formel 6 mal ableite, dann muss ich durch Multiplikation mit dem 2^6-fache Wert das korrekte Ergebnis erzwingen. Macht zusammen (b-a)^7. Aber natürlich brauchst du einen mathematisch korrekten Beweis. Ich kann dir den ausführlichen Beweis schicken, aber das sprengt den Rahmen vom MatheBoard. Bitte schicke eine Mail an MarcelLindener bei web.de.
28.02.2020, 02:58	Nurzweifragen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Numerik Gauß-Legendre-Quadratur Hallo candys123, da wir anscheinend gerade für die selbe Klausur lernen, hast du Lust gemeinsam zu lernen? Auch wenn deine Frage ja vorhin in der Fragestunde wohl geklärt wurde Falls ja kannst mir ja kurz ne PN hinterlassen oder ne spam-email o.ä. reinstellen.

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