Partielle Integration

23.02.2020, 20:21	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration Hallo, ich habe mal wieder einen Hänger an folgender Aufgabe: (Partielle Integration) $\begin{eqnarray} \int_ \! arctan(x) \, dx \end{eqnarray}$ bisher bin ich bis hier her gekommen: $\begin{eqnarray} x\cdot arctan(x) - \int_ \! \frac{x}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray}$ Ich bekomme irgendwie den letzten Teil nicht integriert...zumindest nicht der Lösung entsprechend... Lösung: $\begin{eqnarray} x\cdot arctan(x) - \frac{1}{2}ln(1+x^2)+C \end{eqnarray}$ Ich verstehe schon gar nicht, wie es zu $\begin{eqnarray} ln(1+x^2) \end{eqnarray}$ kommt, das müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray} arctan(x) \end{eqnarray}$ sein ?! Hinweis: Substitution ist nicht erlaubt Vielen Dank im Voraus
23.02.2020, 20:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Integraltyp (bis auf einen konstanten Faktor): $\begin{align} \int \frac{g'(x)}{g(x)} ~ \dd x = \ln \left\| g(x) \right\| \end{align}$
23.02.2020, 20:47	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, jetzt wird's heller, danke! ...und wo kommt die $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ her ? Grüße
23.02.2020, 20:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat mit dem konstanten Faktor zu tun, der fehlt, damit es paßt. Es korrigiert diesen. $\begin{align} \int \frac{x}{1+x^2} ~ \dd x = \int \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x}{1+x^2} ~ \dd x = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} ~ \dd x \end{align}$ Jetzt ist das die beschriebene Situation mit $\begin{align} g(x) = 1+x^2 \end{align}$ .
23.02.2020, 21:05	robbs	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstanden! Vielen Dank und einen schönen Abend! robbs
23.02.2020, 21:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Trotz deines Hinweises, Substitution sei nicht erlaubt, ist das natürlich nur ein Spezialfall der Substitutionsregel.
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