Euler-Zahl

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23.02.2020, 21:01	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Zahl Hallo miteinander Wir haben in der Schule bewiesen, dass $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}} > x \end{eqnarray}$ gilt. Was hat diese Ungleichung aber für eine Bedeutung?
23.02.2020, 21:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Frage kann man nicht beantworten, ohne den Zusammenhang zu kennen, in dem diese Ungleichung auftritt. Vielleicht ist sie nur ein Hilfsmittel, um einen tiefer liegenden Zusammenhang zu begründen.
23.02.2020, 22:20	CrazyL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist vielleicht $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}}\color{red}\geq\color{black} x \end{eqnarray}$ ? Für $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ sind beide Seiten gleich...
24.02.2020, 09:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist in der Tat richtig: Es gilt $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}}\geq x \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , wobei Gleichheit nur für $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ angenommen wird. Wenn du sagst, dass ihr sogar $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}} > x \end{eqnarray}$ bewiesen habt, dann jedenfalls nicht für $\begin{eqnarray} x=e \end{eqnarray}$ , ansonsten ist mit dem Beweis irgendwas nicht in Ordnung.
25.02.2020, 06:19	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Überthema ist natürlich die Eulersche Zahl. Wjr haben gezeigt bzw. argumentiert, dass $\begin{eqnarray} e^x > 1+x \end{eqnarray}$ gilt für alle x ohne 0. Davon ausgehend haben wir gezeigt (bzw. graphisch argumentiert), dass für gewisse (!) x folgendes gilt: $\begin{eqnarray} e'{\frac{x-e}{e}} > 1 + \frac{x-e}{e} \end{eqnarray}$ . Daraus hätten wir dann abgeleitet, dass $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}} > x \end{eqnarray}$ . Das sollte ja stimmen, oder? Aber was für eine Bedeutung hat diese Ungleichung?
25.02.2020, 07:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man denn hinter jeder Ungleichung gleich eine tiefsinnige Bedeutung vermuten? Meiner Ansicht nach nicht.
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25.02.2020, 08:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung des natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Ungleichung ergibt die tiefsinnige Funktionalungleichung $\begin{eqnarray} ln(x) \le \frac x e \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Das ist immerhin eine Abschätzung einer Logarithmusfunktion durch eine lineare Funktion. Diese Theorie ist ausbaufähig.
25.02.2020, 08:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt doch diese schöne Paradoxie mit den uninteressanten natürlichen Zahlen. Es sei $\begin{align} U \end{align}$ die Menge aller uninteressanten natürlichen Zahlen. Wie jede Teilmenge von $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ besitzt $\begin{align} U \end{align}$ ein kleinstes Element, nennen wir es $\begin{align} u \end{align}$ . Wenn aber das einmal die uninteressante Zahl $\begin{align} u \end{align}$ nicht vor allen anderen natürlichen Zahlen auszeichnet, dann weiß ich auch nicht, was noch interessant sein soll! Vielleicht ist es ähnlich mit dieser Ungleichung. Sie ist so interessant, daß schon ein angehender und vier Profi-Mathematiker sich mit ihr beschäftigt haben. Und einander fremde Menschen zusammenzuführen, wo doch so viel Haß in der Welt ist, das hat schon tiefere Bedeutung. Helau!
25.02.2020, 09:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn man aus diesem Dunstkreis schon Ungleichungen herausheben will, dann doch eher die von Thomas007 erstgenannte $\begin{eqnarray} e^x\geq 1+x \end{eqnarray}$ bzw. das Logarithmus-Pendant $\begin{eqnarray} \ln(1+x)\leq x \end{eqnarray}$ . Die beiden sieht man ja sehr häufig in Abschätzungen (als Beispiel nenne ich mal den Zusammenhang der unendlichen Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ mit dem unendlichen Produkt $\begin{eqnarray} \prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n) \end{eqnarray}$ hinsichtlich Konvergenzfragen). Deswegen würde ich der eher "nur" davon abgeleiteten Variante $\begin{eqnarray} e^{\frac{x}{e}}\geq x \end{eqnarray}$ dann keine so große Bedeutung zuweisen. Das wäre in etwa so, als wollte man $\begin{eqnarray} (1-x)^n \geq 1-nx \end{eqnarray}$ gültig für $\begin{eqnarray} x\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ als "Bernoulli-Ungleichung zweiter Art" noch mal extra titulieren.

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