Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen

Neue Frage »

Opa1948 Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen
Meine Frage:
Ich beziehe mich auf F.v. Kutschera, Elementare Logik, 1967.

Dort finden sich unter Abschnitt 1.2.5 eine Auswahl der wichtigsten a.l. gültigen Theoreme, deren Gültigkeit durch systematisches Rückgreifen auf Wahrheitstafeln zu beweisen sei ( S. 54 f.). Unter den aufgeführten Theoremen befinden sich auch folgende
a) Konjunktionseinführung: p,q impliziert p und q
b) Pr. v. ausgeschl. Widerspruch: p und nicht p imlizirt
c) Pr. v. ausgeschl. Dritten: impliziert p oder nicht p

Diese Theoreme sind für mich intuitiv einleuchtend. Meine Frage ist jedoch:

Wie lassen sich die genannten Theoreme durch Rückgriff auf Wahrheitstafeln beweisen?



Meine Ideen:
Abschnitt 1.2.3 des Buches enthält eine Tabelle mit allen möglichen (16) dyadischen Wahrheitswertfunktionen nebst deren Deutung. Dort gibt es aber keine Wahrheitswertverteilung für

a) das Komma
b) oder für die Implikation mit Antezedens aber ohne Konsequenz
c) oder für die Implikation mit Konsequenz aber ohne Antezedens.

Für einen Hinweis wäre ich dankbar.

PS
Sorry für die Schreibweise, aber ich kann hier keine a.l. Operatoren eingeben. Hinweis dazu?
Gibt es ein Forum in dem ich besser aufgehoben wäre (ggf. auch außerhalb vom MatheBoard)?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hier bist du bestimmt richtig, wir lieben Logik. Wir haben hier einen Formeleditor (siehe RECHTS), da findet du \wedge = und \vee = , die Latex-Klammern setzen wir mit dem Button f(x) (siehe OBEN)

a) p,q = p und q = p q sind m.E. nur drei unterschiedliche Schreibweisen
b) und c) ist sehr merkwürdig, vielleicht Schreibfehler. (oder veraltete Schreibweisen, dann wäre ein neueres Buch zu empfehlen.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen
Zitat:
Original von Opa1948
Dort finden sich unter Abschnitt 1.2.5 eine Auswahl der wichtigsten a.l. gültigen Theoreme, deren Gültigkeit durch systematisches Rückgreifen auf Wahrheitstafeln zu beweisen sei ( S. 54 f.). Unter den aufgeführten Theoremen befinden sich auch folgende
a) Konjunktionseinführung: p,q impliziert p und q
b) Pr. v. ausgeschl. Widerspruch: p und nicht p imlizirt
c) Pr. v. ausgeschl. Dritten: impliziert p oder nicht p

Diese Theoreme sind für mich intuitiv einleuchtend. Meine Frage ist jedoch:

Wie lassen sich die genannten Theoreme durch Rückgriff auf Wahrheitstafeln beweisen?

Dazu muss man zunächst sorgfältig zwischen der Implikation als zweistelligem Junktor (einer Verknüpfung von 2 Aussagen zu einer neuen Aussage), auch materiale Implikation oder Subjunktion genannt, und der Implikation als formaler Herleitbarkeit bei allgemeinen Kalkülen gleich dem logischen Schluss bei Logikkalkülen unterscheiden.

Bei der Subjunktion wird aus zwei Aussagen und eine neue Aussage gebildet. Für jede Kombination der Wahrheitswerte von und ist über eine Wahrheitstabelle definiert, welchen Wahrheitswert hat. ist nur falsch, wenn wahr und falsch ist. Bei allen anderen Wahrheitswerten von und ist wahr.

Die Implikation als formaler Herleitbarkeit in einem Kalkül



besagt, wenn in einem Kalkül die Symbolketten hergeleitet worden sind, dann kann in ihm die Symbolkette hergeleitet werden. In einem allgemeinen Kalkül müssen keine Aussagen sein. Dann kann man das Komma auch nicht durch den Junktor (und) ersetzen, weil der ja nur als Verknüpfung von Aussagen definiert ist, obwohl man das umgangssprachlich so machen würde. Bei einem Logikkalkül, bei dem Aussagen sind, spricht allerdings nichts dagegen, das Komma durch den Junktor zu ersetzen.


In einem Kalkül der Aussagenlogik betrachtet man einen logischen Schluss



genau dann als richtig, wenn



allgemeingültig (eine Tautologie) ist. Daher ist



eine korrekter logischer Schluss, weil



eine Tautologie ist. Statt findet in Logigkalkülen auch oft die Schreibweise


Nach dieser langen Vorrede ist

a)

korrekt, weil



eine Tautologie ist.

b)

ist korrekt, weil



eine Tautologie ist.

c)

ist korrekt, weil



für jede beliebige Aussage eine Tautologie ist.


Zitat:
Abschnitt 1.2.3 des Buches enthält eine Tabelle mit allen möglichen (16) dyadischen Wahrheitswertfunktionen nebst deren Deutung. Dort gibt es aber keine Wahrheitswertverteilung für

a) das Komma

Siehe oben.

Zitat:
b) oder für die Implikation mit Antezedens aber ohne Konsequenz
c) oder für die Implikation mit Konsequenz aber ohne Antezedens.

Vermulich, weil hier nicht die Subjunktion () gemeint ist, sondern die Herleitbarkeit/der logische Schluss ().
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen
Zitat:
Original von Huggy
Vermulich, weil hier nicht die Subjunktion () gemeint ist, sondern die Herleitbarkeit/der logische Schluss ().


Für eine Erklärung innerhalb der Quelle, siehe ebd.
1.2.2.3, 1.2.4.1. Dort wird immerhin erklärt, was gültige Schlüsse sind, aber ein richtiger Kalkül wird nicht gegeben, soweit ich das sehe.

Huggys Erklärung und Sichtweise ist jedenfalls die heutzutage geläufige.
Opa1948 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen
Zunächst vielen Dank.

Gehe ich Richtig in der Annahme, dass das F bei Buddy in Aussage b) eine Variable für jede beliebige wahre oder falsche Aussage ist , ebenso wie x eine Variable für jede beliebige wahre oder falsche Aussage ist.

Frage: hat es eine tiefere Bedeutung dass einmal "F" verwendet wird und sodann "x"?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage zu 3 a.l. Theoremen
Zitat:
Original von Opa1948
Gehe ich Richtig in der Annahme, dass das F bei Buddy in Aussage b) eine Variable für jede beliebige wahre oder falsche Aussage ist

Nein.
F steht für die definitiv falsche Aussage.

Zitat:
ebenso wie x eine Variable für jede beliebige wahre oder falsche Aussage ist.

Das ist richtig.
 
 
Opa1948 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu:

"Nein.
F steht für die definitiv falsche Aussage."

Gegenargument:

1.
2.

Schlüsse 1 und 2 sind korrekt, obwohl die Konsequenz von 1 a.l falsch und die von 2 a.l. wahr ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

ist immer wahr ("ex falsum quodlibet").
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@Opa1948
Der Antwort von zweiundvierzig zu deinem Einwand ist nichts hinzuzufügen. Bei ihm steht für die definitiv falsche Aussage.

Hinweis: Wenn man Zitate mit

code:
1:
[Quote] … [/Quote]
einrahmt, werden sie in der Antwort als Zitat hervorgehoben. Es gibt dazu auch einen Button in der Menüleiste.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »