Senkrechte Tangenten, x-Wert gesucht

24.02.2020, 15:11

Resiii

Senkrechte Tangenten, x-Wert gesucht

Meine Frage:
hallo, gerade lerne ich für das mündliche Abitur und komme mit einer Frage nicht ganz zurecht, freue mich über Unterstützung:
Gegeben sind die Funktionen f(x)= Wurzel aus x und g(x)= 1/x
Für welchen x-Wert haben die Graphen von f ung g zueinander senkrechte Tangenten?
(Leider bin ich zu unfähig, Wurzel bzw. Hoch-Zeichen einzufügen, sorry!)

Meine Ideen:
ich hätte die Ableitungen gleichgesetzt, also
1/2x hoch -1/2 =-x hoch -2
Letztlich erhalte ich als Ergebnis x hoch -3/2=2 , also x= Wurzel aus 2 hoch 3
Das Lösungsbuch sagt jedoch, es sei 1/ 5.Wurzel aus 4, also ca. 0,76

24.02.2020, 15:44

Finn_

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Kurze Herleitung. Eine Gerade als $\begin{eqnarray*} y=mx+n \end{eqnarray*}$ ausgedrückt hat Anstieg $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion als Parameterkurve ausgedrückt ist
$\begin{eqnarray*} c(t):=\begin{pmatrix}t \\ mt+n\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$
die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ m\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das ist der Tangentialvektor. Zwei davon sollen Rechtwinklig zueinander stehen, also muss das Skalarprodukt der Tangentialvektoren verschwinden:
$\begin{eqnarray*} 0=\langle\begin{pmatrix}1 \\ m_1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ m_2\end{pmatrix}\rangle = 1\cdot 1+m_1\cdot m_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies m_2 = -\frac{1}{m_1}. \end{eqnarray*}$

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist der Anstieg der Tangente an dieser Stelle. Gesucht ist demnach ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} g'(x) = -\frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray*}$

24.02.2020, 15:45

adiutor62

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RE: Senkrechte Tangenten, x-Wert gesucht
m1= -1/m2

0,5x^-0,5 = x^2

x= ...

1/m2= -1/(-x^-2) = x^2

24.02.2020, 21:30

Ulrich Ruhnau

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RE: Senkrechte Tangenten, x-Wert gesucht

Zitat:

Original von Resiii
Gegeben sind die Funktionen f(x)= Wurzel aus x und g(x)= 1/x
Für welchen x-Wert haben die Graphen von f ung g zueinander senkrechte Tangenten?

[attach]50676[/attach]
Die Tangenten stehen senkrecht zueinander, wenn $\begin{eqnarray*} f'(x)\cdot g'(x)=-1 \end{eqnarray*}$

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