Welche Vektoren haben die Länge x und den Winkel y zu Vektor u?

24.02.2020, 18:14	User ABC123	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Vektoren haben die Länge x und den Winkel y zu Vektor u? Meine Frage: Aufgabe: Ich soll alle Vektoren der Länge 1 finden, welche einen Winkel von genau 60 Grad mit dem Vektor $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einschließen. Meine Ideen: Problem/Ansatz: Ich habe die Länge von v auf 1 und den Winkel auf 60 Grad gesetzt $\begin{eqnarray} cos(60)=\frac{\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix}}{\|\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\|1} \end{eqnarray}$ und erhalte $\begin{eqnarray} L=\{\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}v_2 + \frac{5}{6}\\v_2 \end{pmatrix} : v_2 \in R\} \end{eqnarray}$ wobei nicht alle Vektoren aus dieser Menge die Länge 1 haben, aber zumindest schon im 60 Grad Winkel zu u stehen. Danach habe ich die Länge meiner Vektoren mit 1 gleichgesetzt $\begin{eqnarray} \|\begin{pmatrix} -\frac{4}{3}v_2 + \frac{5}{6}\\v_2 \end{pmatrix}\|=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{(-\frac{4}{3}v_2 +\frac{5}{6})^2 +(v_2)^2}=1 \end{eqnarray}$ Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Jetzt möchte ich gerne die Community fragen, ob ich da was falsch gemacht habe, es Tipps gibt, wie man hier weiterrechnen kann oder ob es generell einen besseren Lösungsweg gibt...
24.02.2020, 20:03	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Umformung der letzten Gleichung führt zu einer quadratischen Gleichung für $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ . Einfacher ginge es so: Der Einheitsvektor in Richtung $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ergibt sich durch Division von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ durch seine eigene Länge. Die Rotationsmatrix gegen den Uhrzeigersinn ist $\begin{eqnarray} R(\varphi) = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Eine Rotation des Einheitsvektors in Richtung $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ führt nun zu den beiden gesuchten Vektoren: $\begin{eqnarray} R(\pm 60^\circ)\frac{u}{\|u\|}. \end{eqnarray}$

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