Primzahl teilt Fibonacci-Zahl mit Index (Primzahl plus 1)

Neue Frage »

MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahl teilt Fibonacci-Zahl mit Index (Primzahl plus 1)
Hallo ihr Lieben smile

ich bin gerade auf diese interessante Ausführung gestoßen:
Zitat:
Man kann zeigen: Ist prim und endet auf 3 oder 7, dann teilt die Fibonacci-Zahl .


Ich finde das sehr interessant und habe das natürlich empirisch überprüft Augenzwinkern
Leider kenne ich nicht den Namen dieses Satzes und bin bisher nicht fündig geworden.

Viel mehr interessiert mich allerdings auch die Rückrichtung beziehungsweise ein Gegenbeispiel zu dieser. Darauf bin ich leider mit meinen bisherigen Berechnungen in Excel nicht gekommen. Und in einer gängigen Programmiersprache weiß ich gerade nicht, wie ich das umsetzen kann.

Könnt ihr mir diesbezüglich wohl auf die Sprünge helfen?

LG
Maren
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Wikipedia-Artikel zur Fibonaccifolge steht u.a.



mit einem zugehörigenn Literaturlink. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz liefert andererseits



und das liefert genau dann -1 (also quadratischer Nichtrest) für (das ist Endziffer 7) oder (das ist Endziffer 3). Damit entspricht (*) ja deiner Behauptung.


Interressant ist dann auch die zweite dort anzutreffende Aussage

,

denn die führt auf (das ist Endziffer 1) oder (das ist Endziffer 9).


EDIT: Upps. hab mir gerade mal den Beweis von (*) und (**) angeschaut. Ist mit der Formel von Binet geradezu beschämend einfach. Augenzwinkern

P.S.: Für die einzige gerade Primzahl gilt übrigens auch. smile
Und fast noch verblüffender: Für alle (!) ungeraden Primzahlen gilt .
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

HAL 9000,

ich danke dir vielmals für deinen sehr lehrreichen Beitrag. Damit hast du nicht nur meine Frage beantwortet, sondern mir auch weitere wirklich verblüffende Einsichten geliefert. Den Verweisen im Wiki werde ich mal folgen.

Ich danke dir vielmals.

LG
Maren
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zusammenhang der Teilbarkeit von Fibonacci-Zahlen fällt mir auch noch folgende interessante Eigenschaft ein:

Zu jedem festen Modul ist die Folge periodisch mit einer Periode , d.h., es gilt dann für alle .

Speziell folgt daraus, dass ist, was gleichbedeutend mit ist. Somit gibt es zu jedem eine positive Fibonacci-Zahl, die durch teilbar ist.

Ist bei so allgemeinem natürlich nicht so konstruktiv wie im Fall oben, wo wir dann gleich konkret sagen konnten, dass es mit oder klappt (damit meine ich hier aber nur , nicht die volle Periodizität). smile
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

HAL 9000, ich weiß nicht was mich mehr fasziniert: Die Tatsache dass Mathematik niemals aufhört interessant zu sein oder die Tatsache dass deine Beiträge niemals aufhören, interessante und lehrreiche Fakten zu liefern. Ich bin über deine Antworten wirklich jedes Mal auf's Neue dankbar!
smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »