Gleichung mit gemischten Brüchen

24.02.2020, 21:49

Pwiep

Gleichung mit gemischten Brüchen

Es geht um die Aufgabe
7 4/15 - x = 1 29/30

Rechenweg
109/15 - x = 59/30

59/30 + 109/15 =
59/30 + 218/30 = 277/30

Probe
278/30 - 218/30 = 59/30

Meine Frage betrifft nun die Lösung der Aufgabe und die
die Stelle an dem die Lösung für x steht.
Sprich: Laut der Aufgabenstellung müsste die komplette Gleichung 7 4/15 - 277/30 = 59/30 heißen.

Aber die Rechnung hätte die Lösung "-" 59/30

Ist es jetzt ein Fehler zu in der Probe 277/30 - 109/15 ...zu schreiben
bzw. In der Lösung 277/30 - 109/15 ...?
Andersherum würde die Rechnung ja gar nicht funktionieren?

24.02.2020, 22:02

Leopold

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Beim Subtrahieren muß man zwei Fälle unterscheiden:

$\begin{align*} x - 3 = 14 \end{align*}$
Von welcher Zahl muß man 3 subtrahieren, um 14 zu erhalten?

$\begin{align*} 15 - x = 2 \end{align*}$
Welche Zahl muß man von 15 subtrahieren, um 2 zu erhalten?

Ein kleiner, aber feiner Unterschied! Was ist jeweils die Antwort auf die Fragen und mit welcher Rechnung erhält man $\begin{align*} x \end{align*}$ aus den gegebenen Zahlen (3 und 14 im ersten Beispiel, 15 und 2 im zweiten Beispiel).

Dann zu deiner Aufgabe:

$\begin{align*} \frac{109}{15} - x = \frac{59}{30} \end{align*}$
Welcher Fall liegt vor? Und mit welcher Rechnung erhält man das gesuchte $\begin{align*} x \end{align*}$ ?

24.02.2020, 23:24

Pwiep

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Ich glaube jetzt habe ich die Lösung.

109/15 - 59/30 =
218/20 - 59/30 =
159/30 = 53/30

Probe
218/30 - 53/30 = 59/30
d.h.
109/15 - 53/30 = 59/30

Auch wenn ich dachte man müsse bei solchen "-" Gleichungen zwanghaft die Addition verwenden.

24.02.2020, 23:34

Leopold

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Der Rechenweg stimmt jetzt, die Rechnung selber aber nicht. Einmal ist es wohl nur ein Schreibfehler (Nenner 20 statt richtig 30), aber das andere Mal hast du falsch gekürzt. Das Ergebnis ist $\begin{align*} \frac{59}{10} \end{align*}$ (beachte den Nenner).

Und noch etwas. Wo ist $\begin{align*} x \end{align*}$ geblieben? Beim Lösen einer Gleichung muß jede (!) Gleichung die Variable enthalten. Am Ende deiner Rechnungen kommt aber die Variable gar nicht mehr vor. Die stellt aber gerade den Zusammenhang her, so daß sich Sinn ergibt.

24.02.2020, 23:52

Pwiep

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Nein ich habe richtig gekürzt.

159 : 3 = 53 und 30 : 3 = 10

Ausserdem ergibt
109/15 - 53/10 = 59/30

x = 53/10

Das Ergebnis der vorgegebenen Gleichung ist
59/30 (vorgegeben : 109/15 - x = 59/30)

109/15 - 59/30 wäre gleich 53/10 und das ist NICHT die vorgegebene Gleichung.

P.s. wo muss das x in der Lösung den vorkommen bzw. wie?

25.02.2020, 08:48

Leopold

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Zitat:

Original von Pwiep
Nein ich habe richtig gekürzt.

Nein, hast du nicht.

Zitat:

Original von Pwiep
159/30 = 53/30

Ich aber auch nicht. Ich habe wohl deinen Kürzungsfehler bemerkt und korrigiert, dann aber in deinem Beitrag auf den falschen Zähler geguckt. Einigen wir uns also auf

$\begin{align*} \frac{159}{30} = \frac{53}{10} \end{align*}$

Zitat:

Original von Pwiep
P.s. wo muss das x in der Lösung den vorkommen bzw. wie?

Beim Lösen einer Gleichung muß die Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ in jeder Zeile auftauchen. Sie kann nicht einfach verschwinden. Ohne Variable sind das sonst nur Rechnungen, denen der Zusammenhang zum Problem fehlt. Allerdings kann man beim Gleichungenlösen Teile der Rechnung in eine Nebenrechnung auslagern, von mir aus ohne Variable. Dann muß man das aber auch entsprechend kennzeichnen.

$\begin{align*} 7 \frac{4}{15} - x = 1 \frac{29}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{109}{15} - x = \frac{59}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{109}{15} - \frac{59}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{218}{30} - \frac{59}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{159}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{53}{10} \end{align*}$

Die letzten vier Zeilen kann man auch zu einer zusammenfassen, da es sich nur um Termumformungen handelt:

$\begin{align*} x = \frac{109}{15} - \frac{59}{30} = \frac{218}{30} - \frac{59}{30} = \frac{159}{30} = \frac{53}{10} \end{align*}$

Oder man läßt die vorletzte und drittletzte Zeile weg und verlagert das in Nebenrechnungen:

$\begin{align*} 7 \frac{4}{15} - x = 1 \frac{29}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{109}{15} - x = \frac{59}{30} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{109}{15} - \frac{59}{30} \end{align*}$ (Nebenrechnung: $\begin{align*} \frac{218}{30} - \frac{59}{30} = \frac{159}{30} = \frac{53}{10} \end{align*}$ )

$\begin{align*} x = \frac{53}{10} \end{align*}$

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