Abzählbare Mengen und Cantor

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gurkgurkenstein Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbare Mengen und Cantor
Meine Frage:
Hallo, wir haben gegeben, dass die Vereinigung von abzählbaren Mengen ebenfalls abzählbar ist. Dies sollen wir mit Hilfe des 1. Cantorschen Diagonalargument beweisen.


Meine Ideen:
Zwar weiß ich, wie dieses aufgebaut ist, kann mir allerdings keinen Zusammenhang herstellen.
Um eine Hilfestellung bin ich sehr dankbar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ordne die Elemente der Mengen in einer unendlichen Matrix an:



Jetzt gib eine Regel an, nach der man diese Matrix durchgehen muß, um alle Elemente von abzuzählen. Die Mengen müssen natürlich nicht disjunkt sein. Aber ist das ein Problem?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage ist leider falsch, denn nicht einmal die Vereinigung von einelementigen Mengen ist abzählbar. Zum Beweis siehe Cantors Diagonalargument. Big Laugh Helau und Allaf
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Big Laugh Helau und Allaf


Wenn schon, dann bitte "Alaaf". So viel Ernst muß sein.
Nur ein Schnäpschen nach dem Mittagessen, und schon sehe ich das Wort "abzählbar" doppelt.

EDIT
Und jetzt kann ich nicht einmal mehr auf drei zählen.
gurkgurkenstein Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist das nicht das 2. Cantorsche Diagonalargument?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das was ist was? Möchtest du eventuell in ganzen Sätzen argumentieren? Dein Satz ist falsch, wie ich bereits bewiesen habe.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ gurkgurkenstein

Um nicht zu lange im Ungewissen zu bleiben, gleich die Frage: Geht es um die Abzählbarkeit einer abzählbaren Vereinigung abzählbarer Mengen?

So hatte ich das nämlich verstanden, auch wenn du das in deinem Eröffnungsbeitrag nicht so geschrieben hattest. Darauf spielte Elvis in seiner ersten "spitzen" Bemerkung an, weil er dich wörtlich nahm.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses harmlos anmutende Anordnen in einer unendlichen Matrix ist heikel.

Für jede Menge braucht man eine Abzählung, also eine Bijektion oder zumindest Surjektion . Diese existiert immer per Definition, weil vorausgesetzt ist. Sei die Menge der Bijektionen . Wie gesagt ist nichtleer.

Nun benötigt man eine Auswahlfunktion (bzw. Auswahlfolge) , dergestalt dass für alle .

Für die Existenz einer solchen Auswahlfunktion ist allerdings das abzählbare Auswahlaxiom notwendig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wozu dein Beitrag dienen soll. Hinter deinem verschwurbelten Symbolkram steckt auch nichts anderes als die unendliche Matrix, die ich oben hingeschrieben habe. Ich habe mir angewöhnt, mathematische Inhalte mit der Minimalzahl an Symbolen, die zur Darstellung erforderlich sind, zu beschreiben und mich dabei möglichst einfach und verständlich zu halten. Und ich ärgere mich, wenn ich hinterher erkennen muß, daß ich etwas unnötig kompliziert ausgedrückt habe. Ziel sollte es sein, von seinen Mitmenschen verstanden zu werden. Die Arroganz mancher Mathematiker, die sagen, ein mathematischer Vortrag sei gut, wenn nach den ersten zehn Minuten alle Zuhörer außer denen in der ersten Reihe ausgestiegen seien, nach einer halben Stunde nur noch die drei Koryphäen folgen könnten und nach einer Stunde auch die nicht mehr zu fragen wagten, weil sie den Anschluß verloren hätten, hat mir schon während meines Studiums nicht gefallen. Es geht nicht darum, immer von allen verstanden zu werden, aber es geht um das Bemühen, von möglichst vielen verstanden zu werden. So sehe ich das jedenfalls. Ich hoffe, mein belehrender Ton in diesem Beitrag geht dir nicht allzu sehr auf die Nerven. Aber es mußte einfach einmal raus. Nix für ungut!
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

So ich mich nicht klar ausgedrückt habe, bitte ich um Entschuldigung, aber das ist auch der springende Punkt. Die Matrix entspricht gerade der Auswahlfunktion . D.h. das Vorhandensein dieser Matrix verlangt das abzählbare Auswahlaxiom, weil die Matrix unendliche viele Zeilen besitzt.

Der Rest meines Schriebs sind lediglich, so unglücklich sie sich auch in syntaktisch-semantischem Logorrhoe manifestieren mögen, technische Details zur Anpassung der in den Raum gestellten Konstruktion an die Formulierung des Auswahlaxioms.

Die möglichst didaktische Formulierung einer Antwort ist sicherlich eine diffizile Frage, allerdings erscheint mir eine unbedingte Not zur Auslassung von als nicht substantiell Erachtetem auch mild zweifelhaft, da ein solches Unterfangen der Gefahr unterliegt, sich an einen Ort zu bewegen der diametral zur Philosophie 'Explicit is better than implizit' steht.

Ich bedauere sehr die Überschreitung einer Begrenzung von 280 Zeichen in meinem letzten Absatz.
tobit Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

mangelndes Bemühen um Verständlichkeit hat mich auch immer wieder im Studium geärgert.

Auf den Beitrag von Finn_ trifft dies hingegen aus meiner Sicht nicht zu. Er erläutert ausführlich und verständlich, warum hier eine Form des Auswahlaxioms benötigt wird. Ich finde diesen Beitrag gut und bin dankbar dafür.

Viele Grüße
Tobias
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich stellt sich die Frage, inwieweit es überhaupt nötig ist, an dieser Stelle irgendwelche Axiome zu erwähnen. Nach meinem Eindruck befinden wir uns bei der Anfrage nicht im Bereich einer axiomatischen Fundierung der Mengenlehre, sondern es soll, von einem naiven Mengenbegriff ausgehend, eine Methode angegeben werden, die Elemente einer abzählbaren Vereinigung abzählbarer Mengen selber wieder abzuzählen. Vielleicht möchte sich gurkgurkenstein dazu äußern, falls er noch Interesse an der Aufgabe hat. Ich korrigiere mich gerne, wenn sich mein Eindruck nicht bestätigt. Jetzt gehe ich aber erst einmal davon aus, daß ich richtig liege.
Die sind als abzählbar vorausgesetzt. Ob ich jetzt noch einmal ausdrücklich darauf verweise, daß nach Axiom ZFC.4711-007 damit eine Abzählung existiert, oder diese ohne ausdrücklichen Bezug auf ein Axiom in offensichtlicher Schreibweise gleich mitliefere:

,

was ändert das? Was gewinne ich durch freundliche Erwähnung des axiomatischen Hintergrunds? Wenn jemand eine elementare Geometrieaufgabe lösen soll, sagt er dann jedes Mal: Nach Euklid-A-42 und Hilbert-P3.14 existiert eine Gerade zu den Punkten ? Oder sagt er nicht einfach: Man zeichne die Gerade ? Oder ist das Wort "zeichnen" schon wieder viel zu anschaulich? Am Ende stellt der sich sogar einen geraden, mit einem Bleistift gezeichneten Strich vor oder - noch schlimmer - malt den sogar mit einem richtigen Bleistift auf ein ordinäres Blatt Papier. Wie primitiv!
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