Beweis Potenzzahlen

26.02.2020, 20:52	Richi0709	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Potenzzahlen Meine Frage: Hi, wie lässt sich beweisen, dass 2018 hoch a + 2018 hoch b nie eine Quadratzahl als Ergebnis liefert? Vielen Dank, freue mich auch über Ansätze Meine Ideen: Folgendes habe ich bisher probiert: Ungerade Zahlen lassen sich ja durch (2k+1) darstellen, gerade Zahlen durch (2k). Meiner Meinung nach gibt es folgende Fälle: a und b sind gerade, a und b sind ungerade oder a ist gerade, b ungerade. Ich hab dann immer entsprechend eingesetzt und dann versucht aufzulösen und zu zeigen dass die davon gezogene Wurzel nicht zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Das Problem ist jetzt aber, dass ich der Meinung bin, dass ich durch das Einsetzten von (2k+1) bzw. (2k) je nach entsprechendem Fall immer nur abprüfe was ist, wenn a=b bzw der Unterschied max. 1 ist. Natürlich können a und b aber beliebig aus der Menge der Natürlichen Zahlen gewählt werden.
26.02.2020, 21:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray} a\geq b \end{eqnarray}$ . Außerdem können wir $\begin{eqnarray} b\leq 1 \end{eqnarray}$ annehmen, denn für $\begin{eqnarray} b\geq 2 \end{eqnarray}$ könnten wir ein vollständiges Quadrat $\begin{eqnarray} 2018^{2k} \end{eqnarray}$ faktoriell abtrennen, so dass der Restfaktor die Struktur $\begin{eqnarray} 2018^a+2018^b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq b\leq 1 \end{eqnarray}$ hat. Fall $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} a\geq 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2018^a+2018\equiv 2\bmod 4 \end{eqnarray}$ , das ist kein quadratischer Rest modulo 4. Für $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2018+2018=4036 \end{eqnarray}$ auch kein vollständiges Quadrat. Fall $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ : Hier dreht es sich um die Frage, ob $\begin{eqnarray} 2018^a+1 \end{eqnarray}$ ein vollständiges Quadrat sein kann. Für $\begin{eqnarray} a\leq 1 \end{eqnarray}$ ist das sicher nicht der Fall, andernfalls ist $\begin{eqnarray} 2018^a+1=k^2 \end{eqnarray}$ mit dann ungeradem $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} 2^{a-2}\cdot 1009^a = \frac{k-1}{2}\cdot \frac{k+1}{2} \end{eqnarray}$ . Die beiden Faktoren rechts sind zwei aufeinander folgende natürliche Zahlen, und damit teilerfremd. Damit bleibt nur die Kombination $\begin{eqnarray} \frac{k-1}{2}=2^{a-2},\;\frac{k+1}{2}=1009^a \end{eqnarray}$ übrig, was unerfüllbar ist.

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