Temperatur zum Zeitpunkt 0

26.02.2020, 22:40

Thomas007

Temperatur zum Zeitpunkt 0

Hallo zusammen

Ich habe folgende Temperaturen eines kalten Getränks gegeben, welches in einem Raum mit konstanter Temperatur steht, gegeben:

T(10 min) = 17°
T(20 min) = 21°
T(30 min) = 23°

Welches ist die Raumtemperatur?

D.h. konkret würde ich gerne die Exponentialfunktion rauskriegen, aber wie?

Wenn ich die habe, lasse ich x (also den Exponenten) gegen unendlich laufen, damit ich die Raumtemperatur rauskriege.

Danke für die Hilfe!

26.02.2020, 23:18

HAL 9000

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Geduldig sichten, was an Daten verfügbar ist, und dann entsprechend umformen:

Es ist $\begin{eqnarray*} T(t) = (T_0-T_R) e^{-\lambda t} + T_R \end{eqnarray*}$ , dabei legen wir Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ als den mit "10 min" bezeichneten fest mit zugehöriger Temperatur $\begin{eqnarray*} T_0 = 17^{\circ} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir hier für $\begin{eqnarray*} \Delta t = 10~min \end{eqnarray*}$ die Daten

$\begin{eqnarray*} T_1 = T(\Delta t) = 21^{\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2 = T(2\Delta t) = 23^{\circ} \end{eqnarray*}$

vorliegen und bekommen

$\begin{eqnarray*} \frac{T_2-T_R}{T_0-T_R} = e^{-\lambda 2\Delta t} = \left( e^{-\lambda \Delta t} \right)^2 = \left( \frac{T_1-T_R}{T_0-T_R} \right)^2 \end{eqnarray*}$

umgestellt

$\begin{eqnarray*} (T_2-T_R)(T_0-T_R) = (T_1-T_R)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2T_0-(T_2+T_0)T_R + T_R^2 = T_1^2-2T_1T_R+T_R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2T_1-T_2-T_0)T_R = T_1^2-T_0T_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_R = \frac{T_1^2-T_0T_2}{2T_1-T_2-T_0} = 25^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Das ganze ist hier extrem numerisch instabil. Wenn die Ausgangswerte hier (wie man bei den Angaben annehmen könnte) nur auf ganze Grad gerundet vorliegen, dann kann man das ganze ja mal testweise durchrechnen mit $\begin{eqnarray*} T_1=20.6^{\circ} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} T_2=23.4^{\circ} \end{eqnarray*}$ ...

27.02.2020, 06:06

Thomas007

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Hallo HAL

Vielen Dank für die Antwort! Sie ist wirklich gut erklärt und nachvollziehbar.

Gibt es eine Möglichkeit, die Anfangstemperatur (d.h. zum Zeitpunkt t = 0 min) rauszukriegen? Bzw. die Temperatur nach einer beliebigen Anzahl Minuten (z.B. 35 Minuten) ?

Danke auch für diese Hilfestellung!

27.02.2020, 08:42

HAL 9000

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Na wenn du erstmal $\begin{eqnarray*} T_R \end{eqnarray*}$ ausgerechnet hast, kannst du über die Formel

$\begin{eqnarray*} T(t) = (T_0-T_R) e^{-\lambda t} + T_R \end{eqnarray*}$

über Bedingung $\begin{eqnarray*} T(\Delta t)=T_1 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen, und damit dann natürlich $\begin{eqnarray*} T(t) \end{eqnarray*}$ für jeden beliebigen Zeitpunkt ermitteln.

Zitat:

Original von Thomas007
Gibt es eine Möglichkeit, die Anfangstemperatur (d.h. zum Zeitpunkt t = 0 min) rauszukriegen?

Ok, hier ist zu beachten, dass ich nach meinem Zugang oben die Zeitachse so gelegt habe, dass t=0 der Zeitpunkt "10 min" bedeutet. Wenn du also tatsächlich die Temperatur zum Zeitpunkt "0 min" bestimmen willst, dann wäre das nach meiner Zeitachse $\begin{eqnarray*} t=-10~min \end{eqnarray*}$ .

02.03.2020, 19:47

Thomas007

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Super, vielen Dank für die Infos!

Kann es sein, dass die Wassertemperatur zu Beginn 9° ist?

04.03.2020, 11:56

mYthos

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Natürlich!

[attach]50717[/attach]

TR = 25 und k = 0.0693
Das zeigt auch die Rechnung mittels Regression.
Im Übrigen ist es hier eine Kopfrechnung. Pro 10 Minuten halbiert sich die Temperaturzunahme ...

mY+

04.03.2020, 12:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Im Übrigen ist es hier eine Kopfrechnung. Pro 10 Minuten halbiert sich die Temperaturzunahme ...

Generell haben wir bei solchen exponentiellen Temperaturausgleichsprozessen eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} \Delta T_0\cdot q^n \end{eqnarray*}$ vorliegen, wenn wir die Temperaturabnahme in gleichlangen aufeinander folgenden Zeitintervallen betrachten. Das wollte ich oben nicht gleich voraussetzen, aber natürlich kann man diese Eigenschaft auch aus der Formel ableiten. Dass wir hier bei den 10min-Intervallen just gerade $\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vorliegen haben, ist ein (für die vereinfachte Rechnung) glücklicher Zufall, auf den ich oben nicht bauen wollte - des allgemeineren Zugangs wegen. Augenzwinkern

04.03.2020, 12:48

mYthos

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Die "Kopfrechnung" soll nur eine Bestätigung der Rechnung darstellen [T(-10) = 9].
TR = 25 und k = 0.0693 sind selbstverständlich zu berechnen.

mY+

04.03.2020, 15:56

Thomas007

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Danke euch beiden!

Ah, also hätte man auch mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} T_0 \cdot q^n \end{eqnarray*}$ arbeiten können, für die gesuchten Temperaturen?

04.03.2020, 18:20

mYthos

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Nein! (Wenn überhaupt, dann nur mit einigen Umwegen .. .) Mache doch noch einmal einen Blick zurück zur Grafik!
Diese Kurve entspricht NICHT der von dir angedachten Funktion.

Vielmehr handelt es sich um die allgemeine Funktion des begrenzten Wachstums:

$\begin{eqnarray*} f(x) = S - c e^{-kx} \end{eqnarray*}$
============

S ist die (obere) Schranke des Wachstums. In deinem Beispiel ist dann mit $\begin{eqnarray*} S = T_R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c = T_R-T_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(t) = T_R - (T_R - T_0)e^{-kt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(t) = (T_0-T_R)e^{-kt} + T_R \end{eqnarray*}$

Was man sagen kann: Die Temperatur des (kalten) Körpers nähert sich exponentiell der höheren Temperatur TR des Raumes an.
Das ist das Wesen des begrenzten (beschränkten) Wachstums.

mY+

04.03.2020, 23:34

Thomas007

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Ok besten Dank fürs Klären.

Eine rein grundsätzliche Frage habe ich noch: Warum kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{T_2 - T_R}{T_0 - T_R} = ( \frac{T_1 - T_R}{T_0 - T_R})^2 \end{eqnarray*}$ ? Also wie kommt man darauf, dieses Verhältnis zu betrachten ?

(Ohne Hilfe wäre ich nicht darauf gekommen...)

05.03.2020, 00:12

mYthos

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Vielleicht ist dies besser zu erkennen, wenn man als Differenz-Zeit jeweils die 10 Minuten einsetzt.

Funktion:
$\begin{eqnarray*} T(t) - T_R = (T_0 - T_R) \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} (1) \ T_1 - T_R = (T_0 - T_R) \cdot e^{-10k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ T_2 - T_R = (T_0 - T_R) \cdot e^{-20k} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \text{Es gilt: }e^{-20k} = \left(e^{-10k}\right)^2 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------
$\begin{eqnarray*} (1) \ \frac{T_1 - T_R}{T_0 - T_R} = e^{-10k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) \text{ mit } (1): \ \frac{T_2 - T_R}{T_0 - T_R} = e^{-20k} = \left(e^{-10k}\right)^2 = \left(\frac{T_1 - T_R}{T_0 - T_R}\right)^2 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------------------

Man kann alternativ auch die erste Gleichung (1) quadrieren und danach beide Gleichungen (1)² und (2) miteinander dividieren.

mY+

05.03.2020, 03:27

Dopap

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Zitat:

Original von mYthos
Vielmehr handelt es sich um die allgemeine Funktion des begrenzten Wachstums:
$\begin{eqnarray*} f(x) = S - c e^{-kx} \end{eqnarray*}$
============
...
Das ist das Wesen des begrenzten (beschränkten) Wachstums.

@Thomas007:

Warum nicht der allgemeine Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x) = S + c e^{kx} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn man - so wie hier - im Voraus über die Richtung der Parameter Bescheid weiß, die Vorzeichen gerne so wählt, dass die Parameter danach positiv ausfallen.

Mathematisch ist das aber nicht relevant.

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