Parabolische DGL mit Neumann: Erweiterte Wärmeleitungsgleichung

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Pascal.P Auf diesen Beitrag antworten »
Parabolische DGL mit Neumann: Erweiterte Wärmeleitungsgleichung
Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

ich habe die Aufgabe ein Matlab-Programm für eine parabolische Differentialgleichung mit Neumann Randbedingungen zu schreiben. Ich denke das habe ich soweit ganz gut hinbekommen.

Einmal zu den Vorgaben:
(PDE): u_t = a(x, t)*u_xx + f(x, t)
(BC): u_x(0, t) = c(t), u(1, t) = uR(t)
(IC): u(x, 0) = uIC(x)

Allerdings stehe ich nun vor dem Problem ein geeignetes Testbeispiel (mit exakter Lösung) zu finden. Hat hier eventuell jemand eine Idee, oder einen Tipp, wie man eine exakte Lösung in das Programm implentieren kann, woran ich beweise kann, dass das Programm richtig funktioniert?

Beispiele für die Rand-/Anfangsbedingungen:
u_x(0, t) = 2*t, u(1, t) = 0,5*t;
u(x,0) = sin (pi*x)
f(x,t) = 500*x+1*t
a(x,t) = 0,05*t+0,05*x

Falls irgendwas zu undeutlich beschrieben ist, bitte ich um kurze Mitteilung.

Ich danke vorab vielmals

Pascal

Meine Ideen:
Ich habe bereits versucht eine analytische Lösung zu ermitteln, doch schnell gemerkt, dass meine mathematischen Kenntnisse sehr limitiert sind.

Folgende Gleichung habe ich aufgestellt:

u(x,t)= (c1*e^(w^0,5*x)+c2*e^(-w^0,5*x))*e^(a*w*t)
u_x(x,t)= (w^0,5*c1*e^(w^0,5*x)-w^0,5*c2*e^(-w^0,5*x))*e^(a*w*t)

allerdings fehlen hier noch die Faktoren a(x,t) (a ist nur als konstante berücksichtigt) und f(x,t).

Nun habe ich versucht die Randbedingungen
u_x(0,t) = d(t)
u(1,t) uR(t)
und die Anfangsbedingung
u(x,0)=uIC(x)
einzusetzen, bin dann aber nicht weiter gekommen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabolische DGL mit Neumann: Erweiterte Wärmeleitungsgleichung
Da bisher niemand geantwortet hat, mache ich mal ein paar Anmerkungen, obwohl ich mit der Materie nur grob vertraut bin.

Zitat:
allerdings fehlen hier noch die Faktoren a(x,t) (a ist nur als konstante berücksichtigt)

Da dürfte es schwer werden, eine exakte Lösung zu finden. Der Faktorisierungsansatz für Basislösungen der Form



funktioniert nur bei konstantem . Vielleicht reicht es ja, das Programm zunächst mal an solchen Beispielen zu testen. Ein weiteres Problem sind die Randbedingungen. Der Faktorisierungsansatz setzt auch homogene Randbedingungen voraus. Bei Dirichlet-Randbedingungen ist das kein Problem, weil man da inhomogene Randbedingungen homogenisieren kann. Bei inhomogenen Neumann-Randbedingungen ist mir nicht bekannt, ob man diese homogenisieren kann und falls ja, wie das geht. Reicht es, wenn du dein Programm an homogenen Neumann-Randbedingungen testest?

Eine Internetrecherche sollte unter diesen Restriktionen Beispiele exakter Lösungen ergeben. Mehrfach habe ich gehört, dass unter den Büchern noch immer

H. S. Carslaw and J.C. Jaeger
Conduction of Heat in Solids

als Standardwerk gilt, auch wegen seiner vielen durchgerechneten Beispiele. Davon zeugen auch die vielen Nachdrucke. Ich habe selbst schon mal erwogen, mir das Werk aus reiner Sammelleidenschaft zuzulegen.
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