Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP

28.02.2020, 02:50

Nurzweifragen

Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP

Guten Abend erstmal. Willkommen

Ich habe das Problem, dass mir für Altklausuren keine Musterlösung gestellt wird.
Ich würde daher hier mal für ein paar Aufgaben meine Lösung reinstellen und ggf. um Korrektur bitten.
Fangen wir an mit der ersten:
Es soll das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} S_N := \sum_{i=1}^N a_i * b_i \end{eqnarray*}$ berechnet werden. ( $\begin{eqnarray*} S_N \neq 0 \end{eqnarray*}$ )
Gefragt ist nach einer Abschätzung der Form $\begin{eqnarray*} | \frac{\tilde{S_N} - S_N}{S_N} | <= C(N) * k(a_1,...,a_N, b_1,...,b_N) * \epsilon \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \tilde {S_N} \end{eqnarray*}$ die fehlerbehaftete Rechnung.

Ich berechne zuerst:
$\begin{eqnarray*} \tilde{S_N} = \sum_{i=1}^n (a_i * b_i) (1 + o_i) \end{eqnarray*}$ ,
wobei es sich um die Fehlerbehaftete Sum version handelt.
= $\begin{eqnarray*} ( a_1 * b_1 * (1 + o_1) + a_2 * b_2 * (1 + o_2)) * \prod_{i=1}^{n-1} (1 + mü_i) + \sum_{k=3}^n a_k*b_k*(1+o_k) * \prod_{i=k-1}^{n-1} (1+mü_i) \end{eqnarray*}$ ,
wobei es sich um die exakten Sum und Prod versionen handelt.

Ich nutze nun $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n (1+t_k) = 1 + v_n \end{eqnarray*}$ für ein v_n aus R mit $\begin{eqnarray*} |v_n| \leq \frac{n \epsilon}{1-n \epsilon} =: \gamma_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |t_k| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n*\epsilon < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{S_N} = ( a_1 * b_1 * (1 + o_1) + a_2 * b_2 * (1 + o_2)) * (1 + v_{n-1}) + \sum_{k=3}^n a_k*b_k*(1+o_k) * (1 + v_{n-k+1}) \end{eqnarray*}$

Es folgt

$\begin{eqnarray*} | \tilde{S_N} - S_N | \leq | a_1 * b_1 + a_2 * b_2 | * 3 * \gamma_{2} + \sum_{k=3}^n | a_i * b_i | * \gamma_{n-k+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq 3 * \gamma_n \sum_{k=1}^n | a_i * b_i | \end{eqnarray*}$

wobei ich jeweils $\begin{eqnarray*} o_i, o_i * v_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma_i \end{eqnarray*}$ abgeschätzt habe, womit ich (da - S_N) auf $\begin{eqnarray*} 3 * \gamma_i \end{eqnarray*}$ kam.

Am Ende folgt

$\begin{eqnarray*} | \frac{\tilde{S_N} - S_N}{S_N} | \leq \frac{3 * n}{1-n \epsilon} * \frac{\sum_{k=1}^n | a_i * b_i |}{| \sum_{k=1}^n a_i * b_i| }* \epsilon \end{eqnarray*}$

Damit würde sich die Fehlerschranke für das Berechnen des SKP um den Faktor 3 von der Fehlerschranke fürs einfache Summieren unterscheiden.
Für mich klingt das erstmal plausibel.
Ob es aber auch richtig ist kann ich nicht abschätzen, hier wäre ich auf eure Hilfe gespannt.

Bei Blick auf meine alten Unterlagen und entsprechend der Aussagen eines Profs, dass es ja eher auf größenordnungen ankommt denk ich, dass der Faktor 2 statt 3 passender währe.
Schließlich ist o_i * v_i << o_i und damit vernachlässigbar.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

28.02.2020, 18:04

RomanGa

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RE: Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP
Hallo Nurzweifragen, ich habe in der Gleichung, wo dein mü_i zum ersten Mal auftritt, ein anderes Ergebnis. Bitte definiere deine mü_i, damit ich unsere Ergebnisse vergleichen kann. Vielen Dank.

28.02.2020, 18:17

RomanGa

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RE: Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP

Zitat:

Original von Nurzweifragen

$\begin{eqnarray*} \tilde{S_N} = \sum_{i=1}^n (a_i * b_i) (1 + o_i) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} ( a_1 * b_1 * (1 + o_1) + a_2 * b_2 * (1 + o_2)) * \prod_{i=1}^{n-1} (1 + mü_i) + \sum_{k=3}^n a_k*b_k*(1+o_k) * \prod_{i=k-1}^{n-1} (1+mü_i) \end{eqnarray*}$

Diese Formel meine ich.

28.02.2020, 18:49

Nurzweifragen

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RE: Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP
Ich habe es der Übersichtlichkeit halber aufgeteilt, o_i waren Fehler entstehend aus der Multiplikation, mü_i Fehler entstehend aus der Addition.
Inhaltlich sind addition und Multiplikation als Elementaroperationen definiert, die Fehler unterscheiden sich bzgl. ihrer Definition also nicht.

29.02.2020, 07:30

RomanGa

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RE: Abschätzung von relativem Rundungsfehler SKP

Zitat:

Original von Nurzweifragen

$\begin{eqnarray*} | \tilde{S_N} - S_N | \leq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq 3 * \gamma_n \sum_{k=1}^n | a_i * b_i | \end{eqnarray*}$

Hallo Nurzweifragen, meine Lösung ist hingegen

$\begin{eqnarray*} | \tilde{S_N} - S_N | \leq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq 1 * \gamma_n \sum_{k=1}^n | a_i * b_i | \end{eqnarray*}$

Du hattest völlig recht, dein Faktor 3 war verdächtig. Beweis gerne auf Papier. Bitte Mail an MarcelLindener bei web.de.

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