Dreiecke im Rechteck

29.02.2020, 10:11

Mathema

Dreiecke im Rechteck

Guten Morgen!

Eine Schülerin von mir (7. Klasse) war letztes Wochenende bei der Landeskunde der MO und gab mir gestern die Aufgaben. Ich habe mir gerade einmal eine Geometrie-Aufgabe (Tag 1 Aufgabe 3) angesehen:

[attach]50700[/attach]

Gegeben ist ein Rechteck $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{CD} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Schnittpunkt der Diagonalen $\begin{eqnarray*} \overline{AC} \end{eqnarray*}$ und der Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{BE} \end{eqnarray*}$ .

a) Beweise, dass die Dreiecke $\begin{eqnarray*} BCP \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CDP \end{eqnarray*}$ den gleichen Flächeninhalt haben.
b) Berechne den Anteil des Flächeninhaltes des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABP \end{eqnarray*}$ am Flächeninhalt des Rechteckes $\begin{eqnarray*} ABCD \end{eqnarray*}$ .

a) habe ich so gelöst, dass ich zunächst die andere Diagonale $\begin{eqnarray*} \overline{BD} \end{eqnarray*}$ eingezeichnet habe. Die Diagonalen zerlegen das Rechteck in vier flächeninhaltsgleiche Dreiecke. Es genügt nun zu zeigen, dass die Dreiecke $\begin{eqnarray*} FPD \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} FBP \end{eqnarray*}$ den gleichen Flächeninhalt haben. Da sich die Diagonalen im Rechteck aber halbieren (5. Klasse) und $\begin{eqnarray*} \overline{FP} \end{eqnarray*}$ somit Seitenhalbierende (7.Klasse) im Dreieck $\begin{eqnarray*} DBP \end{eqnarray*}$ ist, folgt die Behauptung.

b) habe ich nun so gelöst, dass ich zunächst 2 Gleichungen aufgestellt habe. Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Länge des Rechtecks und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Breite, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad \frac{1}{2}ab= \triangle ABP+\triangle BPC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad \frac{1}{4}ab= \triangle EPC+\triangle BPC \end{eqnarray*}$

Subtrahieren wir:

$\begin{eqnarray*} (1)-(2)\quad \frac{1}{4}ab= \triangle ABP-\triangle EPC \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \triangle EPC=\frac{1}{4}\triangle ABP\quad (*) \end{eqnarray*}$

Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}ab= \frac{3}{4}\triangle ABP\iff \triangle ABP =\frac{1}{3}ab \end{eqnarray*}$

Nun ist das Rechnen mit Gleichungen / Systemen in der 7. Klasse ja noch nicht so weit verbreitet. Außerdem suche ich eine Begründung für $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ . Ich habe mir dieses ja über Ähnlichkeit / Streckung überlegt - was ja eher Klasse 9 zugeordnet wird. Klar ist natürlich, dass die Grundseite laut Voraussetzung halb so lang ist. Gibt es nun eine einfache Begründung, wieso dieses für die Höhe auch der Fall sein muss (außer Ähnlichkeit)?

Alternative Lösungen (primär auf Wissen der 7. Klasse basierend) sind natürlich auch sehr gerne gesehen!

29.02.2020, 12:10

mitleser

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Mal ein paar Gedanken :

Aufgaben sind oft aufeinander aufbauend, daher kann man für b) bestimmt auch a) benutzen.

Wenn man zeigt, dass z.B. das Dreieck DFP 1/3 des Dreiecks DFC ausmacht, dann wäre man für das Dreieck ABP wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}ab+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}ab=\frac{1}{3}ab \end{eqnarray*}$ fertig.

Um das zu zeigen, kann man sich klar machen, welche Flächeninhalte nun alles gleich sind, denn davon gibt es ja einige:

DFP und FBP

DEP und ECP

BCP und CDP (siehe Aufgabe a)

CMP und MBP (M sei der Mittelpunkt von BC)

Damit müsste doch was gehen, oder ?

29.02.2020, 12:38

Ulrich Ruhnau

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RE: Dreiecke im Rechteck

Zitat:

Original von Mathema
Eine Schülerin von mir (7. Klasse) war letztes Wochenende bei der Landeskunde der MO und gab mir gestern die Aufgaben. Ich habe mir gerade einmal eine Geometrie-Aufgabe (Tag 1 Aufgabe 3) angesehen:

Das hört sich nach einem Program zur Förderung begabter Schüler an. Gibt es so etwas?

Welches Program hast Du benutzt für Deine Zeichnung?

Im übrigen habe mich bemüht, mit dem Programm Geogebra eine Zeichnung zu erstellen, die alles klar macht. Zu zeigen: Die Fläche der beiden grünen Dreiecke rechts entsprechen der Fläche der beiden blauen Dreicke oben. $\begin{eqnarray*} f3+f4=f5+f6 \end{eqnarray*}$ Da hilft die Erkenntnis, daß die Fläche eines beliebigen Dreiecks durch eine ihrer Seitenhalbierenden in zwei gleich große Flächen geteilt wird.
Zum anderen treffen sich alle Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt. Dieser Punkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 1:2. Und so, wie es aussieht, entstehen dann 6 gleich große Dreicksflächen. Ob man das für einen alternativen Beweis nutzen darf, weiß ich nicht. Auf jeden Fall könnte meine Zeichnung bei der Suche helfen.
[attach]50704[/attach]

29.02.2020, 16:18

klauss

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RE: Dreiecke im Rechteck
Ich sehe kein Problem darin, für die Höhen über zentrische Streckung zu argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{FP}}{\overline{GP}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (s. Bild).
Ich erinnere mich z. B. an eine Realschulabschlußprüfungsaufgabe mit Pyramide, wo man genau so eine Beziehung erkennen mußte. Von Wettbewerbsteilnehmern wird sicher erwartet, dass sie über einige Fertigkeiten oberhalb des eigentlichen Jahrgangstufenniveaus verfügen und diese anwenden. Daher würde ich ein Thema nicht so an eine bestimmte Klasse festnageln, da dies auch abhängig vom Schultyp ist.

Wenn man die Längenbeziehung der Höhen zunächst ausnimmt, aber die anderen Eigenschaften zentrischer Streckung beläßt, würde ich so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \triangle CEP = \triangle C'E'P=\frac{1}{2}\cdot \overline{C'E'} \cdot \overline{F'P} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \triangle ABP = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \overline{C'E'} \cdot \left(\overline{F'G}+\overline{F'P}\right)= 4 \cdot \frac{1}{2}\cdot \overline{C'E'} \cdot \overline{F'P} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \overline{F'G}+\overline{F'P}=2\cdot \overline{F'P}\Rightarrow \overline{F'G}=\overline{F'P}=\overline{FP} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \triangle ABP=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{2}{3}b=\frac{1}{3}ab \end{eqnarray*}$

Aufgabe a) geht so natürlich auch schnell:

$\begin{eqnarray*} \triangle CDP=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{1}{3}b=\frac{1}{6}ab \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \triangle BCP=\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a \cdot \frac{2}{3}b=\frac{1}{6}ab \end{eqnarray*}$

Aber gut, wenn man diese Methode nicht hat, kanns schon mühsamer werden.

29.02.2020, 16:21

riwe

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RE: Dreiecke im Rechteck
wäre eine Möglichkeit:

CDF = BCF und DFP = BPF
woraus die Behauptung folgt

29.02.2020, 20:14

Mathema

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Danke für die Antworten!

@Ulrich Ruhnau:

Zitat:

Das hört sich nach einem Program zur Förderung begabter Schüler an. Gibt es so etwas?

Siehe dort: https://www.mathe-wettbewerbe.de/mo

Zitat:

Welches Program hast Du benutzt für Deine Zeichnung?

Geogebra.

Deine Idee finde ich sehr nett. Seitenhalbierende sind in Klasse 7 bekannt (Schwerpunkt Eigenschaft auch) - ich selbst habe ja davon in a) gebrauch gemacht. Dass nun die 6 Teildreiecke gleichen Inhalt haben ist dann natürlich zu begründen - aber einfach soll eine Landesrunde (und speziell Aufgabe 3) der MO ja auch nicht sein.

@riwe:

Hallo Werner! Deinen Weg bin ich in a) ja auch gegangen. Aber schön von dir zu hören - einen lieben Gruß nach Österreich!

@Klauss:

Zitat:

Von Wettbewerbsteilnehmern wird sicher erwartet, dass sie über einige Fertigkeiten oberhalb des eigentlichen Jahrgangstufenniveaus verfügen und diese anwenden.

Das stimmt wahrscheinlich. Doch ich denke schon, dass bei Aufgaben (gerade in unteren Jahrgangsstufen) auch darauf geachtet wird, dass diese Aufgabe nicht ausschließlich mit weiterführenden Wissen gelöst werden kann. Dieses zeigt ja auch der Weg von Ulrich Ruhnau.

29.02.2020, 21:38

riwe

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@Mathema

dein Sternchen (*) brauche ich aber nicht,
danke für die Grüße Augenzwinkern

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