Ringadjunktion

29.02.2020, 14:48	Kniffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringadjunktion Meine Frage: Hallo, vielleicht kann mir hier weitergeholfen werden. Es geht um die Adjunktion von Elementen. IR[x] = IR für reelle x erscheint mir logisch, weil x bereits Element des Rings IR ist. Wie sieht es aber aus mit IR[z] für eine komplexe Zahl z? Meine Ideen: Wir hatten z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\ \|\ a,b\in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ . Gilt das immer? Also $\begin{eqnarray} \mathbb R[z]=\{a+bz\ \|\ a,b\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ ? Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen und diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
29.02.2020, 17:24	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, solange dein z nicht reell ist, ja. Es gilt sogar noch mehr: $\begin{eqnarray} \mathbb R [z] = \mathbb C \Leftrightarrow z \in \mathbb C \setminus \mathbb R \end{eqnarray}$
29.02.2020, 17:27	Kniffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Wie ist eigentlich R[x] definiert? (Jetzt für beliebigen Ring und beliebiges Ringelement)
29.02.2020, 17:30	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Als kleinster Ring, der x und R enthält.
29.02.2020, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch ganz konkret $\begin{eqnarray} R[x]=\{\sum_{k=0}^na_kx^k:a_k\in R\} \end{eqnarray}$ als Polynomring über $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ mit der Unbestimmten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verstehen. Dabei ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ muss nicht aus einem vorher bekannten Ring stammen.
01.03.2020, 21:30	Kniffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, danke
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